In diesem Artikel werden wir besprechen:
Was ist Standardabweichung?
Die Standardabweichung stellt dar ein statistisches Maß, das die Variation oder Streuung der Werte eines bestimmten Datensatzes um den Mittelwert quantifiziert. Diese Berechnung erfolgt durch Ziehen der Quadratwurzel der Varianz, was es einfacher macht, zu verstehen, inwieweit jeder einzelne Wert vom eingestellten Durchschnitt abweicht.
In der Praxis führt ein Datensatz mit weit um den Mittelwert verteilten Werten zu einer hohen Standardabweichung. Dies bedeutet, dass der Standardabweichungswert umso größer ist, je größer die Streuung der Daten ist.
Vorteile
- Die Standardabweichung bietet eine quantitative Analyse der Streuung der Daten im Vergleich zum Ensemble-Mittelwert.
- Sie wird durch die Berechnung der Quadratwurzel der Varianz ermittelt.
- Im Finanzbereich wird die Standardabweichung häufig als Indikator für das mit einem bestimmten Vermögenswert verbundene Risiko verwendet.
- Vermögenswerte mit hoher Volatilität weisen eine hohe Standardabweichung auf, während stabile Vermögenswerte wie Aktien konsolidierter Unternehmen (Blue Chips) tendenziell eine niedrige Standardabweichung aufweisen.
Eine Einschränkung der Standardabweichung besteht jedoch darin, dass sie alle Formen von Unsicherheit als Risiko interpretiert, einschließlich solcher, die zu überdurchschnittlichen Renditen führen können.
Welche Funktion hat die Standardabweichung?
Im Finanzkontext wird die Standardabweichung als statistische Kennzahl verwendet, die bei Anwendung auf die jährliche Rendite einer Anlage deren historische Volatilität aufzeigt.
Eine höhere Standardabweichung bei einem Vermögenswert weist auf eine größere Variabilität zwischen seinen Einzelpreisen und dem Durchschnitt hin, was auf eine größere Preisspanne hindeutet. Daher weisen Vermögenswerte mit größerer Volatilität, wie zum Beispiel bestimmte Aktien, eine höhere Standardabweichung auf, während Vermögenswerte, die als stabiler gelten, wie zum Beispiel Blue-Chip-Aktien, eine niedrigere Standardabweichung aufweisen.
Standardabweichungsformel
Die Berechnung der Standardabweichung erfolgt durch Ermitteln der Quadratwurzel eines Werts, der durch Vergleich jedes Datenpunkts mit dem allgemeinen Durchschnitt der Daten einer bestimmten Grundgesamtheit ermittelt wird. Die Formel lautet:
Verfahren zur Berechnung der Standardabweichung
Um die Standardabweichung zu berechnen, gehen Sie wie folgt vor:
1. Zunächst wird das arithmetische Mittel der Daten ermittelt, indem alle Werte addiert und das Ergebnis durch die Gesamtzahl der Datenpunkte dividiert werden.
2. Anschließend wird die Differenz zwischen jedem Datenpunkt und dem Durchschnitt berechnet, was die individuelle Variation jedes Punkts ergibt.
3. Der nächste Schritt besteht darin, jede dieser Variationen zu quadrieren.
4. Anschließend werden alle erhaltenen quadrierten Variationen addiert.
5. Diese Summe wird dann durch die Gesamtzahl der Datenpunkte minus eins dividiert.
6. Abschließend wird die Quadratwurzel des im vorherigen Schritt erhaltenen Ergebnisses gezogen.
Verwendung der Standardabweichung
Die Standardabweichung ist im Zusammenhang mit Investitionen und Handel äußerst relevant, da sie ein genaues Maß für die Markt- und Finanzanlagenvolatilität bietet und zur Antizipation von Renditetrends beiträgt. Im Zusammenhang mit Investitionen zeigt beispielsweise ein Indexfonds, der im Vergleich zu seinem Referenzindex eine geringere Standardabweichung aufweist, dass er seinen Zweck erfüllt, das Verhalten des Index nachzubilden.
Andererseits wird erwartet, dass aggressive Wachstumsfonds eine höhere Standardabweichung im Vergleich zu relevanten Marktindizes aufweisen, da ihre Manager mutigere Strategien verfolgen, um überdurchschnittliche Renditen zu erzielen.
Allerdings ist eine kleinere Standardabweichung nicht unbedingt vorteilhafter, da alles von der Art der Anlagen und der Risikobereitschaft des Anlegers abhängt. Bei der Berücksichtigung der Standardabweichung in ihren Portfolios ist es von entscheidender Bedeutung, dass Anleger ihre Volatilitätstoleranz und ihre langfristigen Anlageziele bewerten. Anleger mit einem aggressiveren Profil bevorzugen möglicherweise Anlageoptionen mit größerer Volatilität, während Anleger mit einem konservativeren Profil möglicherweise nach weniger volatilen Alternativen suchen.
Die Standardabweichung ist eine der grundlegenden Messgrößen für die Risikobewertung und wird häufig von Finanzanalysten, Portfoliomanagern und Anlageberatern verwendet. Finanzinstitute legen häufig die Standardabweichung von Investmentfonds und anderen Finanzprodukten offen und bieten so einen klaren Überblick darüber, wie die Renditen vom erwarteten Durchschnitt abweichen. Da es sich um einen leicht zu interpretierenden Indikator handelt, wird diese Statistik regelmäßig an Kunden und Investoren weitergegeben.
Standardabweichung vs. Variation
Die Varianz wird ermittelt, indem zunächst die Werte eines Datensatzes gemittelt werden, dieser Durchschnitt von jedem Wert einzeln subtrahiert wird, diese Differenzen quadriert werden und schließlich der Durchschnitt dieser Werte quadriert wird. Die Standardabweichung wiederum entspricht der Quadratwurzel dieser Variation. Mit Hilfe von Software wie Excel können diese Vorgänge effizient durchgeführt werden.
Die Variation quantifiziert die Amplitude der Streuung der Daten im Verhältnis zum Durchschnittswert. Je größer die Variation, desto größer die Streuung zwischen den Datenwerten, was auf die Möglichkeit größerer Abstände zwischen einem Wert und einem anderen hinweist. Liegen die Datenwerte näher beieinander, ist die Variation geringer. Allerdings kann die Interpretation der Variation komplexer sein, da es sich um einen quadratischen Wert handelt, der möglicherweise nicht ohne weiteres mit den Originalwerten im Datensatz vergleichbar ist.
Die Standardabweichung hingegen ist tendenziell intuitiver und anwendbarer, da sie in derselben Maßeinheit wie die Originaldaten ausgedrückt wird, was bei Variationen nicht unbedingt der Fall ist. Anhand der Standardabweichung kann festgestellt werden, ob die Daten einer Normalverteilung folgen oder eine andere Form einer mathematischen Beziehung darstellen.
Bei einer Normalverteilung liegen etwa 68 % der Daten innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert. Größere Abweichungen führen zu mehr Daten außerhalb dieses Bereichs, während kleinere Abweichungen darauf hinweisen, dass mehr Daten nahe am Durchschnitt liegen.
Vor- und Nachteile der Standardabweichung
Vorteile
Die Standardabweichung ist ein weithin anerkanntes und verwendetes Maß für die Streuung. Aufgrund ihrer Vertrautheit bei Analysten und Fachleuten aus verschiedenen Bereichen wie Investitionen und Versicherungsmathematik wird diese Metrik häufig für die Analyse ausgewählt.
Diese Maßnahme berücksichtigt alle Beobachtungen im Datensatz und bietet eine vollständige Analyse. Im Gegensatz zu anderen Maßen, die sich nur auf die extremsten Werte konzentrieren, berücksichtigt die Standardabweichung jeden Datenpunkt und bietet so eine umfassendere und genauere Sicht auf die Streuung.
Es ist möglich, die Standardabweichung zweier unterschiedlicher Datensätze mithilfe einer speziellen Formel für die kombinierte Standardabweichung zu kombinieren, was für andere Streuungsmaße nicht gilt. Darüber hinaus kann die Standardabweichung in zusätzliche algebraische Berechnungen integriert werden, wodurch sie sich von anderen Formen der statistischen Analyse unterscheidet.
Nachteile
Bei der Verwendung der Standardabweichung sollten Sie einige Überlegungen beachten. Dieses Maß gibt nicht explizit an, wie weit ein Wert vom Mittelwert entfernt ist, sondern vergleicht vielmehr quadrierte Differenzen, eine wichtige Nuance beim Verständnis der Streuung von Daten relativ zum Mittelwert.
Werte, die sehr weit vom Mittelwert entfernt sind oder Ausreißer sind, wirken sich erheblich auf die Standardabweichung aus, vor allem weil die Differenzen quadriert werden, wodurch die Wirkung dieser Extrempunkte in der Analyse verstärkt wird.
Schließlich kann die manuelle Berechnung der Standardabweichung eine Herausforderung sein und mehrere komplexe Schritte erfordern, die das Fehlerrisiko erhöhen. Diese Schwierigkeit kann jedoch durch den Einsatz fortschrittlicher Rechentools wie dem Bloomberg-Terminal minimiert werden.
Beispiele für Standardabweichungen
Stellen Sie sich einen Datensatz vor, der aus den Werten 5, 7, 3 und 7 besteht und deren Summe 22 beträgt. Um den Durchschnitt zu ermitteln, wird diese Summe durch die Anzahl der Beobachtungen dividiert, die in diesem Fall vier beträgt, was zu einem Durchschnitt führt von 5,5. Daher haben wir einen Mittelwert (\(x̄\)) von 5,5 und eine Gesamtzahl von Daten (\(N\)) von 4.
Um die Varianz zu berechnen, wird der Mittelwert jedes Werts im Datensatz subtrahiert, wodurch sich die Differenzen -0,5, 1,5, -2,5 und 1,5 ergeben. Diese Differenzen werden dann quadriert, was 0,25, 2,25, 6,25 bzw. 2,25 ergibt. Die Summe dieser quadrierten Werte beträgt 11, was geteilt durch \(N-1\) (in diesem Fall 3) eine Varianz von ungefähr 3,67 ergibt.
Die Quadratwurzel dieser Varianz ergibt die Standardabweichung, die ungefähr 1,915 beträgt.
Nehmen wir als Beispiel die Aktien von Apple (AAPL) über fünf Jahre mit einer jährlichen Rendite von 88,97 % im Jahr 2019, 82,31 % im Jahr 2020, 34,65 % im Jahr 2021, -26,41 % im Jahr 2022 und 28,32 % im Jahr 2023, die durchschnittliche Rendite über diese Jahre fünf Jahre beträgt 41,57 %.
Wenn wir die durchschnittliche Rendite für jedes Jahr abziehen, erhalten wir 47,40 %, 40,74 %, -6,92 %, -67,98 % bzw. -13,25 %. Nachdem wir diese Werte quadriert haben, erhalten wir 22,47 %, 16,60 %, 0,48 %, 46,21 % und 2,42 %. Die Summe dieser quadrierten Werte beträgt 0,882. Wenn wir diesen Wert durch 4 (\(N-1\)) dividieren, erhalten wir eine Varianz von 0,220.
Die Quadratwurzel dieser Varianz ist die Standardabweichung, die 0,469 oder 46,90 % ergibt.
Fazit
Die Standardabweichung erweist sich als grundlegendes statistisches Instrument zur Messung der Streuung eines Datensatzes im Verhältnis zu seinem Mittelwert. Anhand praktischer Beispiele, wie der Performance von Apple-Aktien oder einer einfachen Reihe von Zahlen, wurde demonstriert, wie man sowohl Varianz als auch Standardabweichung berechnet, und die Relevanz jedes einzelnen Maßes für die Interpretation von Volatilität und Datenstreuung verdeutlicht.
Das Verständnis der Standardabweichung ist für mehrere Bereiche, einschließlich Finanzen, wissenschaftliche Forschung und Technik, von entscheidender Bedeutung, da es Einblicke in die Konsistenz oder Variabilität analysierter Daten bietet. Eine hohe Standardabweichung weist auf eine größere Streuung der Werte um den Mittelwert hin, was auf Volatilität oder Inkonsistenz hindeutet, während ein niedriger Wert darauf hindeutet, dass die Daten stärker um den Mittelwert herum gruppiert sind, was auf Stabilität hinweist.
FAQ
Was bedeutet eine hohe Standardabweichung?
Eine hohe Standardabweichung signalisiert, dass die Werte im Datensatz erheblich vom Mittelwert abweichen, was auf eine erhebliche Streuung der Daten hinweist. Andererseits weist eine niedrige Standardabweichung darauf hin, dass sich die Daten stärker um den Mittelwert konzentrieren.
Welche Informationen erhält man durch die Standardabweichung?
Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung eines Datensatzes und gibt an, ob Werte nahe am Mittelwert oder weit davon entfernt sind. Bei Normalverteilungen können Sie damit nachvollziehen, wie weit die Daten im Verhältnis zum Mittelwert verteilt sind.
Wie lässt sich die Standardabweichung schnell ermitteln?
Eine visuelle Analyse der Datenverteilung kann Aufschluss darüber geben, ob die Streuung breit oder eng ist. Verteilungen mit größerer Streuung weisen höhere Standardabweichungen auf. Für spezifische Berechnungen verfügt Software wie Excel über Funktionen zur Berechnung der Standardabweichung, die es einfacher machen, diese Messung zu erhalten.
Wie wird die Standardabweichung berechnet?
Die Standardabweichung wird aus der Quadratwurzel der Varianz berechnet. Dieser Prozess umfasst die Bestimmung des Mittelwerts des Datensatzes, die Berechnung der Differenzen zwischen jedem Datenpunkt und dem Mittelwert, die Quadrierung dieser Differenzen, die Summierung der Ergebnisse, die Division durch die Anzahl der Beobachtungen minus eins und schließlich die Extraktion der Quadratwurzel des Ergebnisses.
