O Que é Regressão? Cálculo e Exemplo

O que é Regressão?

A regressão constitui uma metodologia estatística empregada amplamente em campos como finanças, investimentos, entre outros, com o objetivo de identificar a relação e a intensidade da conexão entre uma variável alvo (frequentemente representada por Y) e um conjunto de variáveis explicativas.

Conhecida igualmente como regressão linear ou pelo método de mínimos quadrados ordinários (OLS), essa técnica se destaca como a abordagem mais usual. A regressão linear descobre a conexão direta entre duas variáveis através da construção de uma linha de melhor ajuste, sendo sua representação gráfica uma linha reta, cuja inclinação evidencia o impacto da variação de uma variável sobre a outra. O ponto onde essa linha intercepta o eixo y indica o valor esperado da variável dependente quando a variável independente é nula. Existem, adicionalmente, modelos de regressão não linear, que apresentam uma complexidade superior.

A análise regressiva se revela como uma ferramenta eficaz para examinar as relações entre variáveis observadas, embora não determine diretamente a causalidade. Seu uso se estende por diversas áreas, incluindo negócios, finanças e economia, auxiliando, por exemplo, gestores de investimentos na avaliação de ativos e no entendimento das dinâmicas entre variáveis como o preço de commodities e o desempenho das ações de empresas vinculadas a essas commodities.

É fundamental diferenciar a técnica estatística de regressão do conceito de regressão à média.

Entendendo a Regressão

A regressão analisa a correlação entre variáveis num conjunto de dados, mensurando a significância estatística dessas correlações.

Há duas formas primárias de regressão: a regressão linear simples e a regressão linear múltipla, além de métodos de regressão não linear adequados para análises mais complexas. Enquanto a regressão linear simples se vale de uma única variável explicativa para prever ou esclarecer o resultado da variável dependente Y, a regressão linear múltipla emprega mais de uma variável explicativa para a predição do resultado, mantendo as demais constantes.

Além de ser útil para profissionais das áreas financeira e de investimentos, a regressão também facilita a previsão de vendas de uma companhia com base em variáveis como o clima, vendas prévias, crescimento do PIB, entre outras condições. O Modelo de Precificação de Ativos de Capital (CAPM), utilizado frequentemente nas finanças para a precificação de ativos e a determinação de custos de capital, exemplifica um modelo regressivo.

Regressão e Econometria

A econometria compreende um conjunto de técnicas estatísticas aplicadas na análise de dados econômicos e financeiros. Uma aplicação típica em econometria é a investigação do efeito da renda sobre o consumo por meio de dados observáveis. Um economista pode hipotetizar que um incremento na renda de um indivíduo levará a um aumento em seus gastos.

Caso os dados indiquem essa associação, uma análise regressiva pode ser realizada para elucidar a intensidade da relação entre renda e consumo e verificar se essa relação é estatisticamente significativa, ou seja, se a probabilidade de ocorrer por acaso é baixa.

É possível incluir várias variáveis explicativas na análise, como mudanças no PIB, na inflação, e no desemprego para explicar as variações nos preços do mercado de ações. Quando se utiliza mais de uma variável explicativa, denomina-se regressão linear múltipla, uma ferramenta prevalente na econometria.

Contudo, a econometria enfrenta críticas por, ocasionalmente, depender excessivamente das interpretações dos resultados regressivos sem vinculá-los adequadamente à teoria econômica ou investigar mecanismos causais. É vital que os achados derivados dos dados possam ser explicados por uma teoria coerente, mesmo que isso requeira o desenvolvimento de novas teorias sobre os processos subjacentes.

Calculando a Regressão

Os modelos de regressão linear adotam frequentemente o método dos mínimos quadrados para estabelecer a linha que melhor se ajusta aos dados analisados. Este método visa minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados nos dados e os valores previstos pela função matemática do modelo. Essas diferenças são quantificadas elevando-se ao quadrado a distância entre cada ponto de dado e a linha de regressão, ou o valor médio dos dados.

Após a realização desse procedimento, normalmente executado através de softwares especializados, constitui-se um modelo de regressão. A estrutura geral de cada modelo de regressão pode ser expressa da seguinte forma:

Exemplo de Utilização da Regressão em Finanças

Na esfera financeira, a regressão é comumente aplicada para examinar como determinados fatores, como o preço de uma mercadoria, taxas de juros, e atividades em setores específicos, afetam a variação dos preços de ativos. O Modelo de Precificação de Ativos de Capital (CAPM), que se baseia em técnicas de regressão, serve para estimar os retornos esperados de ações e calcular os custos de capital. Neste contexto, os retornos de uma determinada ação são comparados aos de um índice mais abrangente, como o S&P 500, a fim de calcular o beta da ação em análise.

O beta representa o risco da ação comparado ao do mercado ou índice, manifestando-se como a inclinação no modelo CAPM. O retorno esperado da ação em estudo é a variável dependente Y, enquanto o prêmio pelo risco de mercado constitui a variável independente X.

Para aprimorar as estimativas de retorno fornecidas pelo modelo CAPM, podem ser incluídas variáveis adicionais, tais como a capitalização de mercado da ação, índices de avaliação e retornos recentes. Estes elementos adicionais são conhecidos como fatores de Fama-French, nome dados em homenagem aos professores que desenvolveram o modelo de regressão linear múltipla para uma explicação mais acurada dos retornos dos ativos.

Conclusão

A análise de regressão, uma ferramenta estatística de fundamental importância nas áreas de finanças, economia, e diversos outros campos, permite aos pesquisadores e profissionais explorar e quantificar as relações entre variáveis. Através da construção de modelos de regressão, seja linear simples, múltipla, ou não linear, é possível não apenas identificar associações significativas entre variáveis dependentes e independentes, mas também prever tendências e comportamentos futuros com base em dados históricos.

O método dos mínimos quadrados, empregado na construção da maioria dos modelos de regressão, destaca-se por sua capacidade de determinar a linha de melhor ajuste, facilitando assim a interpretação das relações entre as variáveis. Este método, juntamente com as ferramentas computacionais modernas, viabiliza análises robustas e detalhadas, fundamentais para a tomada de decisões informadas em ambientes de negócios, investimentos, e pesquisa.

Entretanto, é crucial reconhecer que a eficácia dos modelos de regressão depende estritamente do cumprimento de certas suposições, como a linearidade das relações, a homoscedasticidade, a independência das variáveis explicativas, e a normalidade da distribuição das variáveis. A violação destas premissas pode comprometer a validade dos resultados, tornando essencial uma análise cuidadosa e criteriosa dos dados antes da aplicação de tais modelos.

Perguntas Frequentes

Por que se denomina “regressão”?

Embora existam debates sobre a origem do termo, é provável que “regressão” tenha sido cunhado por Sir Francis Galton no século XIX para descrever como características biológicas, como a altura das pessoas, tendem a convergir para uma média. Dessa maneira, apesar da existência de indivíduos mais altos ou mais baixos, a maioria tende a se agrupar próximo à média, ou seja, “regredir” para ela.

Qual é o objetivo da regressão?

Na análise estatística, a regressão é empregada para identificar e quantificar as relações entre variáveis presentes em um conjunto de dados. Ela não apenas revela a magnitude das associações, mas também avalia sua significância estatística, ou seja, a probabilidade de tais associações não serem fruto do acaso. Assim, a regressão se torna uma ferramenta valiosa tanto para a inferência estatística quanto para a tentativa de previsão de resultados futuros com base em dados históricos.

Como se interpreta um modelo de regressão?

A interpretação de um modelo de regressão, por exemplo, Y = 1,0 + (3,2)X1 – 2,0(X2) + 0,21, onde temos uma regressão linear múltipla relacionando a variável Y a duas variáveis explicativas X1 e X2, consiste em entender como Y varia conforme X1 e X2 mudam. Neste caso, uma unidade de aumento em X1 (mantendo X2 constante) resulta em um aumento de 3,2 em Y, enquanto uma unidade de aumento em X2 (com X1 constante) leva a uma redução de 2 em Y. A interceptação y de 1,0 indica que Y é igual a 1 quando X1 e X2 são nulos, com um termo de erro residual de 0,21.

Quais Suposições são Fundamentais para Modelos de Regressão?

Para uma interpretação precisa dos resultados obtidos por meio de modelos de regressão, é crucial que determinadas premissas sejam atendidas em relação ao conjunto de dados em análise. Estas suposições são essenciais para a validade e confiabilidade das conclusões derivadas do modelo. As principais incluem:

• Linearidade na Relação entre as Variáveis: É necessário que exista uma relação linear entre a variável dependente e as variáveis independentes. Isso significa que a mudança esperada na variável dependente é uma função linear da mudança nas variáveis independentes.
• Homoscedasticidade: Refere-se à constância da variância dos erros ao longo das diferentes níveis das variáveis independentes. Em outras palavras, o tamanho do erro ou desvio em relação à linha de regressão não deve variar significativamente entre as observações.
• Independência das Variáveis Explicativas: As variáveis independentes incluídas no modelo devem ser mutuamente independentes, ou seja, a presença ou variação de uma variável independente não deve ser um indicador direto da presença ou variação de outra.
• Distribuição Normal das Variáveis: Para a aplicação de diversos testes estatísticos de hipóteses que acompanham a análise de regressão, assume-se que as variáveis envolvidas, incluindo os erros ou resíduos do modelo, seguem uma distribuição normal.

Estas premissas garantem que os modelos de regressão possam ser aplicados de maneira adequada e que suas inferências estatísticas sejam confiáveis. A violação dessas condições pode levar a resultados enviesados ou interpretativos, comprometendo a integridade das análises realizadas.