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Desvio Padrão Vs. Variação: Fórmula e Usos

O que é uma média? Definição em matemática
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O que é Desvio Padrão?

O desvio padrão representa uma medida estatística que quantifica a variação ou dispersão dos valores de um determinado conjunto de dados em torno da média. Esse cálculo é efetuado pela extração da raiz quadrada da variância, o que facilita a compreensão da extensão do afastamento de cada valor individual em relação à média do conjunto.

Na prática, um conjunto de dados com valores amplamente dispersos em torno da média resultará em um desvio padrão elevado. Isso indica que, quanto maior a dispersão dos dados, maior será o valor do desvio padrão.

Benefícios

  • O desvio padrão fornece uma análise quantitativa da dispersão dos dados em comparação com a média do conjunto.
  • Sua determinação se dá através do cálculo da raiz quadrada da variância.
  • No âmbito financeiro, o desvio padrão é frequentemente empregado como um indicador do risco associado a um determinado ativo.
  • Ativos com alta volatilidade apresentam um desvio padrão elevado, enquanto ativos estáveis, como as ações de empresas consolidadas (blue chips), tendem a ter um desvio padrão reduzido.

Contudo, uma limitação do desvio padrão é sua interpretação de todas as formas de incerteza como risco, inclusive aquelas que podem resultar em retornos superiores à média.

Qual a Função do Desvio Padrão?

No contexto financeiro, o desvio padrão é empregado como uma métrica estatística que, ao ser aplicada à taxa de retorno anual de um investimento, revela a volatilidade histórica do mesmo.

Um desvio padrão mais alto em um ativo indica uma maior variabilidade entre seus preços individuais e a média, sugerindo uma amplitude de preços mais extensa. Assim, ativos com maior volatilidade, como certas ações, possuem um desvio padrão mais alto, enquanto aqueles considerados mais estáveis, a exemplo das ações blue chip, apresentam um desvio padrão mais baixo.

Fórmula do Desvio Padrão

O cálculo do desvio padrão é realizado através da obtenção da raiz quadrada de um valor que é determinado comparando-se cada ponto de dado com a média geral dos dados de uma determinada população. A fórmula é:

Desvio Padrão Vs. Variação: Fórmula e Usos

 

Procedimento para o Cálculo do Desvio Padrão

Para calcular o desvio padrão, segue-se o processo abaixo:

1. Primeiramente, determina-se a média aritmética dos dados, somando-se todos os valores e dividindo o resultado pelo total de pontos de dados.
2. Em seguida, calcula-se a diferença entre cada ponto de dado e a média, o que resulta na variação individual de cada ponto.
3. A próxima etapa consiste em elevar ao quadrado cada uma dessas variações.
4. Após isso, realiza-se a soma de todas as variações ao quadrado obtidas.
5. Esse total é então dividido pelo número total de pontos de dados menos um.
6. Por fim, extrai-se a raiz quadrada do resultado obtido na etapa anterior.

Usos do Desvio Padrão

O desvio padrão é extremamente relevante no contexto de investimentos e negociações, uma vez que oferece uma medida precisa da volatilidade do mercado e dos ativos financeiros, contribuindo para a antecipação de tendências de rendimento. No âmbito dos investimentos, por exemplo, um fundo de índice que apresenta um desvio padrão reduzido em comparação ao seu índice de referência demonstra que está cumprindo com seu propósito de replicar o comportamento do índice.

Por outro lado, espera-se que fundos de crescimento agressivo mostrem um desvio padrão mais alto em comparação com índices de mercado relevantes, dado que seus gestores adotam estratégias mais ousadas na tentativa de alcançar rendimentos superiores à média.

Não obstante, um desvio padrão menor não é necessariamente mais vantajoso, visto que tudo depende da natureza dos investimentos e da predisposição ao risco por parte do investidor. Ao considerar o desvio padrão em suas carteiras, é crucial que os investidores avaliem sua tolerância à volatilidade e seus objetivos de investimento em longo prazo. Investidores com perfil mais agressivo podem preferir opções de investimento com maior volatilidade, enquanto aqueles de perfil mais conservador podem buscar alternativas menos voláteis.

O desvio padrão é uma das métricas fundamentais para a avaliação de risco, amplamente utilizada por analistas financeiros, gestores de carteira e consultores de investimentos. As instituições financeiras frequentemente divulgam o desvio padrão de fundos mútuos e de outros produtos financeiros, proporcionando uma visão clara da variação dos retornos em relação à média esperada. Por ser um indicador de fácil interpretação, esta estatística é regularmente reportada aos clientes e investidores.

Desvio Padrão Vs. Variação

A variação é obtida ao primeiro calcular a média dos valores de um conjunto de dados, subtrair essa média de cada valor individualmente, elevar ao quadrado essas diferenças e, por fim, calcular a média desses valores ao quadrado. O desvio padrão, por sua vez, corresponde à raiz quadrada dessa variação. Esses procedimentos podem ser efetuados de maneira eficiente com o auxílio de softwares como o Excel.

A variação quantifica a amplitude da dispersão dos dados em relação ao valor médio. Quanto maior for a variação, maior será a dispersão entre os valores dos dados, indicando uma possibilidade de maiores distâncias entre um valor e outro. Se os valores dos dados estiverem mais próximos entre si, a variação será menor. Contudo, a interpretação da variação pode ser mais complexa, visto que representa um valor quadrático, que pode não ser facilmente comparável com os valores originais do conjunto de dados.

O desvio padrão, em contrapartida, tende a ser mais intuitivo e aplicável, sendo expresso na mesma unidade de medida que os dados originais, o que não ocorre necessariamente com a variação. Com o desvio padrão, é possível identificar se os dados seguem uma distribuição normal ou se apresentam outra forma de relação matemática.

Em uma distribuição normal, aproximadamente 68% dos dados situam-se dentro de um desvio padrão da média. Variações maiores levam a uma maior quantidade de dados fora deste intervalo, enquanto variações menores indicam que mais dados estão próximos à média.

Vantagens e Desvantagens do Desvio Padrão

Vantagens

O desvio padrão é uma medida de dispersão amplamente reconhecida e utilizada. Devido à sua familiaridade entre analistas e profissionais de diversas áreas, como investimentos e atuária, essa métrica é frequentemente escolhida para análises.

Essa medida leva em consideração todas as observações do conjunto de dados, oferecendo uma análise completa. Diferentemente de outras medidas que focam apenas nos valores mais extremos, o desvio padrão considera cada ponto de dado, proporcionando uma visão mais abrangente e precisa da dispersão.

É possível combinar o desvio padrão de dois conjuntos de dados distintos por meio de uma fórmula específica para desvio padrão combinado, algo que não se aplica a outras medidas de dispersão. Além disso, o desvio padrão pode ser integrado em cálculos algébricos adicionais, diferenciando-se de outras formas de análise estatística.

Desvantagens

Ao usar o desvio padrão, deve-se ter em mente algumas considerações. Esta medida não indica explicitamente quão distante um valor está da média, mas sim compara as diferenças ao quadrado, uma nuance importante na compreensão da dispersão dos dados em relação à média.

Valores muito distantes da média, ou outliers, impactam significativamente o desvio padrão, principalmente porque as diferenças são elevadas ao quadrado, aumentando o efeito desses pontos extremos na análise.

Por último, o cálculo manual do desvio padrão pode ser desafiador, exigindo várias etapas complexas que aumentam o risco de erros. Essa dificuldade, no entanto, pode ser minimizada com o uso de ferramentas computacionais avançadas, como o terminal Bloomberg.

Exemplos de Desvio Padrão

Considere um conjunto de dados composto pelos valores 5, 7, 3 e 7, cuja soma é 22. Para encontrar a média, divide-se esse total pelo número de observações, que neste caso é quatro, resultando numa média de 5,5. Portanto, temos uma média (\(x̄\)) de 5,5 e um número total de dados (\(N\)) igual a 4.

Para calcular a variância, subtrai-se a média de cada valor do conjunto de dados, obtendo-se as diferenças -0,5, 1,5, -2,5 e 1,5. Essas diferenças são então elevadas ao quadrado, resultando em 0,25, 2,25, 6,25 e 2,25, respectivamente. A soma desses valores quadrados é 11, que, dividida por \(N-1\) (neste caso, 3), resulta numa variância de aproximadamente 3,67.

A raiz quadrada dessa variância nos dá o desvio padrão, que é aproximadamente 1,915.

Tomando como exemplo as ações da Apple (AAPL) ao longo de cinco anos, com retornos anuais de 88,97% em 2019, 82,31% em 2020, 34,65% em 2021, -26,41% em 2022 e 28,32% em 2023, o retorno médio desses cinco anos é de 41,57%.

Subtraindo a média do retorno de cada ano, obtemos 47,40%, 40,74%, -6,92%, -67,98% e -13,25%, respectivamente. Após elevar ao quadrado esses valores, temos 22,47%, 16,60%, 0,48%, 46,21% e 2,42%. A soma desses valores quadrados é 0,882. Dividindo esse valor por 4 (\(N-1\)) obtemos uma variância de 0,220.

A raiz quadrada dessa variância é o desvio padrão, resultando em 0,469 ou 46,90%.

Conclusão

O desvio padrão surge como uma ferramenta estatística fundamental para medir a dispersão de um conjunto de dados em relação à sua média. Através de exemplos práticos, como o desempenho das ações da Apple ou um simples conjunto de números, demonstrou-se como calcular tanto a variância quanto o desvio padrão, elucidando a relevância de cada medida na interpretação da volatilidade e da dispersão dos dados.

Entender o desvio padrão é crucial para diversas áreas, incluindo finanças, pesquisa científica e engenharia, pois oferece insights sobre a consistência ou variabilidade dos dados analisados. Um desvio padrão elevado indica uma maior dispersão dos valores em torno da média, sugerindo volatilidade ou inconsistência, enquanto um valor baixo sugere que os dados estão mais agrupados em torno da média, indicando estabilidade.

Perguntas Frequentes

O que indica um desvio padrão elevado?

Um desvio padrão alto sinaliza que os valores do conjunto de dados variam significativamente em relação à média, demonstrando uma dispersão considerável dos dados. Por outro lado, um desvio padrão baixo indica que os dados estão mais concentrados ao redor da média.

Qual a informação obtida através do desvio padrão?

O desvio padrão oferece uma medida de dispersão para um conjunto de dados, indicando se os valores estão próximos ou distantes da média. Em distribuições normais, ele permite entender o quão espalhados estão os dados em relação à média.

Como determinar rapidamente o desvio padrão?

Uma análise visual da distribuição dos dados pode indicar se a dispersão é ampla ou restrita. Distribuições com maior dispersão apresentam desvios padrões mais altos. Para cálculos específicos, softwares como o Excel possuem funções dedicadas ao cálculo do desvio padrão, facilitando a obtenção dessa medida.

Como se calcula o desvio padrão?

O desvio padrão é calculado a partir da raiz quadrada da variância. Esse processo envolve a determinação da média do conjunto de dados, o cálculo das diferenças entre cada ponto de dados e a média, a elevação ao quadrado dessas diferenças, a soma dos resultados, a divisão pelo número de observações menos um e, finalmente, a extração da raiz quadrada do resultado.

 

Isenção de responsabilidade: As visões e opiniões expressas pelo autor, ou qualquer pessoa mencionada neste artigo, são apenas para fins informativos e não constituem aconselhamento financeiro, de investimento ou outros. Investir ou negociar criptomoedas traz um risco de perda financeira.
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