V tomto článku probereme:
Co je standardní odchylka?
Směrodatná odchylka představuje uma statistické měření, které kvantifikuje variaci nebo rozptyl hodnot daného souboru dat kolem průměru. Tento výpočet se provádí extrakcí druhé odmocniny rozptylu, což usnadňuje pochopení toho, do jaké míry se každá jednotlivá hodnota liší od nastaveného průměru.
V praxi bude mít soubor dat s hodnotami široce rozptýlenými kolem průměru za následek vysokou směrodatnou odchylku. To znamená, že čím větší je rozptyl dat, tím větší je hodnota směrodatné odchylky.
Výhody
- Standardní odchylka poskytuje kvantitativní analýzu rozptylu dat ve srovnání s průměrem souboru.
- Určuje se výpočtem druhé odmocniny rozptylu.
- Ve finanční sféře se směrodatná odchylka často používá jako ukazatel rizika spojeného s daným aktivem.
- Aktiva s vysokou volatilitou mají vysokou směrodatnou odchylku, zatímco stabilní aktiva, jako jsou akcie konsolidovaných společností (blue chips), mívají nízkou směrodatnou odchylku.
Omezením směrodatné odchylky je však její interpretace všech forem nejistoty jako rizika, včetně těch, které mohou vést k nadprůměrným výnosům.
Jaká je funkce směrodatné odchylky?
Ve finančním kontextu se směrodatná odchylka používá jako statistická metrika, která při aplikaci na roční míru návratnosti investice odhaluje její historickou volatilitu.
Vyšší směrodatná odchylka u aktiva ukazuje na větší variabilitu mezi jeho jednotlivými cenami a průměrem, což naznačuje širší cenové rozpětí. Aktiva s větší volatilitou, jako jsou některé akcie, mají tedy vyšší směrodatnou odchylku, zatímco aktiva, která jsou považována za stabilnější, jako například akcie blue chips, mají směrodatnou odchylku nižší.
Vzorec standardní odchylky
Výpočet směrodatné odchylky se provádí získáním druhé odmocniny hodnoty, která se určí porovnáním každého datového bodu s obecným průměrem dat z dané populace. Vzorec je:
Postup pro výpočet směrodatné odchylky
Chcete-li vypočítat směrodatnou odchylku, postupujte takto:
1. Nejprve se určí aritmetický průměr dat sečtením všech hodnot a vydělením výsledku celkovým počtem datových bodů.
2. Poté se vypočítá rozdíl mezi každým datovým bodem a průměrem, což vede k individuální variaci každého bodu.
3. Dalším krokem je umocnění každé z těchto variací.
4. Poté se sečtou všechny získané variace na druhou.
5. Tento součet se pak vydělí celkovým počtem datových bodů mínus jeden.
6. Nakonec se extrahuje druhá odmocnina výsledku získaného v předchozím kroku.
Použití směrodatné odchylky
Směrodatná odchylka je mimořádně důležitá v souvislosti s investicemi a obchodováním, protože nabízí přesné měření volatility trhu a finančních aktiv, což přispívá k předvídání trendů výnosů. V souvislosti s investicemi například indexový fond, který má sníženou směrodatnou odchylku ve srovnání se svým referenčním indexem, prokazuje, že plní svůj účel replikovat chování indexu.
Na druhou stranu se očekává, že agresivní růstové fondy budou vykazovat vyšší směrodatnou odchylku ve srovnání s relevantními tržními indexy, protože jejich manažeři přijímají odvážnější strategie ve snaze dosáhnout vyšších než průměrných výnosů.
Menší směrodatná odchylka však nemusí být nutně výhodnější, protože vše závisí na charakteru investic a náchylnosti investora k riziku. Při zvažování standardní odchylky ve svých portfoliích je klíčové, aby investoři vyhodnotili svou toleranci volatility a dlouhodobé investiční cíle. Investoři s agresivnějším profilem mohou preferovat investiční možnosti s větší volatilitou, zatímco investoři s konzervativnějším profilem mohou hledat méně volatilní alternativy.
Směrodatná odchylka je jednou ze základních metrik pro hodnocení rizik, kterou široce používají finanční analytici, portfolio manažeři a investiční poradci. Finanční instituce často zveřejňují směrodatnou odchylku podílových fondů a dalších finančních produktů, čímž poskytují jasný přehled o tom, jak se výnosy liší od očekávaného průměru. Jelikož se jedná o snadno interpretovatelný ukazatel, je tato statistika pravidelně reportována klientům a investorům.
Standardní odchylka vs. variace
Rozptyl se získá nejprve zprůměrováním hodnot souboru dat, odečtením tohoto průměru od každé hodnoty jednotlivě, umocněním těchto rozdílů a nakonec umocněním průměru těchto hodnot. Směrodatná odchylka zase odpovídá druhé odmocnině této variace. Tyto postupy lze efektivně provádět pomocí softwaru, jako je Excel.
Variace kvantifikuje amplitudu rozptylu dat ve vztahu k průměrné hodnotě. Čím větší je odchylka, tím větší je rozptyl mezi hodnotami dat, což naznačuje možnost větších vzdáleností mezi jednou hodnotou a druhou. Pokud jsou hodnoty dat blíže k sobě, bude odchylka menší. Interpretace variace však může být složitější, protože představuje kvadratickou hodnotu, která nemusí být snadno srovnatelná s původními hodnotami v souboru dat.
Směrodatná odchylka na druhé straně bývá intuitivnější a použitelnější, protože je vyjádřena ve stejné měrné jednotce jako původní data, což se nemusí nutně vyskytovat s odchylkami. Pomocí směrodatné odchylky je možné identifikovat, zda data sledují normální rozdělení nebo představují jinou formu matematického vztahu.
Při normální distribuci leží přibližně 68 % dat v rámci jedné standardní odchylky od průměru. Větší odchylky vedou k většímu počtu údajů mimo tento rozsah, zatímco menší odchylky znamenají, že více údajů se blíží průměru.
Výhody a nevýhody směrodatné odchylky
Výhody
Standardní odchylka je široce uznávaná a používaná míra rozptylu. Vzhledem ke své známosti mezi analytiky a odborníky z různých oblastí, jako jsou investice a pojistná matematika, je tato metrika často vybírána pro analýzu.
Toto opatření bere v úvahu všechna pozorování v souboru dat a nabízí kompletní analýzu. Na rozdíl od jiných měření, která se zaměřují pouze na nejextrémnější hodnoty, standardní odchylka bere v úvahu každý datový bod, což poskytuje komplexnější a přesnější pohled na rozptyl.
Je možné kombinovat směrodatnou odchylku dvou odlišných datových souborů pomocí specifického vzorce pro kombinovanou směrodatnou odchylku, což se nevztahuje na jiná měření rozptylu. Kromě toho může být směrodatná odchylka integrována do dalších algebraických výpočtů, čímž se odlišuje od jiných forem statistické analýzy.
Nevýhody
Při použití směrodatné odchylky byste měli mít na paměti několik úvah. Tato míra explicitně neuvádí, jak daleko je hodnota od průměru, ale spíše porovnává čtvercové rozdíly, což je důležitá nuance v pochopení rozptylu dat vzhledem k průměru.
Hodnoty velmi vzdálené od průměru nebo odlehlé hodnoty významně ovlivňují směrodatnou odchylku, hlavně proto, že rozdíly jsou na druhou, což zvyšuje účinek těchto extrémních bodů v analýze.
A konečně, ruční výpočet směrodatné odchylky může být náročný a vyžaduje několik složitých kroků, které zvyšují riziko chyb. Tuto potíž však lze minimalizovat použitím pokročilých výpočetních nástrojů, jako je terminál Bloomberg.
Příklady standardních odchylek
Uvažujme množinu dat složenou z hodnot 5, 7, 3 a 7, jejichž součet je 22. Pro zjištění průměru se tento součet vydělí počtem pozorování, což je v tomto případě čtyři, výsledkem je průměr ze dne 5,5. Máme tedy průměr (\(x̄\)) 5,5 a celkový počet dat (\(N\)) rovný 4.
Pro výpočet rozptylu se odečte průměr každé hodnoty v souboru dat, čímž se získají rozdíly -0,5, 1,5, -2,5 a 1,5. Tyto rozdíly jsou poté umocněny na druhou, výsledkem je 0,25, 2,25, 6,25 a 2,25, v tomto pořadí. Součet těchto umocněných hodnot je 11, což po vydělení \(N-1\) (v tomto případě 3) vede k rozptylu přibližně 3,67.
Druhá odmocnina tohoto rozptylu nám dává směrodatnou odchylku, která je přibližně 1,915.
Vezměme si jako příklad akcie společnosti Apple (AAPL) za pět let, s ročními výnosy 88,97 % v roce 2019, 82,31 % v roce 2020, 34,65 % v roce 2021, -26,41 % v roce 2022 a 28,32 % v roce 2023, průměrný výnos za tyto roky pět let je 41,57 %.
Odečtením průměrného výnosu za každý rok získáme 47,40 %, 40,74 %, -6,92 %, -67,98 % a -13,25 %. Po umocnění těchto hodnot máme 22,47 %, 16,60 %, 0,48 %, 46,21 % a 2,42 %. Součet těchto umocněných hodnot je 0,882. Vydělením této hodnoty 4 (\(N-1\)) získáme rozptyl 0,220.
Druhá odmocnina tohoto rozptylu je směrodatná odchylka, výsledkem je 0,469 nebo 46,90 %.
Závěr
Směrodatná odchylka se objevuje jako základní statistický nástroj pro měření rozptylu souboru dat ve vztahu k jeho průměru. Prostřednictvím praktických příkladů, jako je výkon akcií Apple nebo jednoduchá sada čísel, bylo demonstrováno, jak vypočítat rozptyl i směrodatnou odchylku, což objasňuje relevanci každého měření při interpretaci volatility a rozptylu dat.
Pochopení směrodatné odchylky je klíčové pro několik oblastí, včetně financí, vědeckého výzkumu a inženýrství, protože nabízí pohled na konzistenci nebo variabilitu analyzovaných dat. Vysoká směrodatná odchylka naznačuje větší rozptyl hodnot kolem průměru, což naznačuje volatilitu nebo nekonzistenci, zatímco nízká hodnota naznačuje, že data jsou více seskupená kolem průměru, což naznačuje stabilitu.
Perguntas Frequentes
Co znamená vysoká směrodatná odchylka?
Vysoká směrodatná odchylka signalizuje, že hodnoty v souboru dat se výrazně liší od průměru, což ukazuje na značný rozptyl dat. Na druhou stranu nízká směrodatná odchylka naznačuje, že data jsou více koncentrovaná kolem průměru.
Jaké informace se získávají prostřednictvím směrodatné odchylky?
Směrodatná odchylka poskytuje míru rozptylu pro sadu dat, která ukazuje, zda jsou hodnoty blízko nebo daleko od průměru. V normálním rozdělení vám umožňuje pochopit, jak jsou data rozložena ve vztahu k průměru.
Jak rychle určit směrodatnou odchylku?
Vizuální analýza distribuce dat může naznačit, zda je rozptyl široký nebo úzký. Distribuce s větším rozptylem mají vyšší směrodatné odchylky. Pro specifické výpočty má software jako Excel funkce vyhrazené pro výpočet směrodatné odchylky, což usnadňuje získání tohoto měření.
Jak se počítá směrodatná odchylka?
Směrodatná odchylka se vypočítá z druhé odmocniny rozptylu. Tento proces zahrnuje určení průměru souboru dat, výpočet rozdílů mezi každým datovým bodem a průměrem, umocnění těchto rozdílů, sečtení výsledků, dělení počtem pozorování mínus jedna a nakonec extrakci druhé odmocniny výsledku.
