在本文中，我們將討論：
什麼是標準差？
標準差代表 一 量化給定資料集平均值周圍的變化或離散度的統計量測。該計算是透過提取變異數的平方根來進行的，這使得更容易理解每個單獨值與設定平均值的差異程度。
在實踐中，值廣泛分佈在平均值周圍的資料集將導致高標準差。這表示資料的離散程度越大，標準差值就越大。
好處
- 標準差提供了數據相對於整體平均值的離散程度的定量分析。
- 它是通過計算方差的平方根來確定的。
- 在金融領域，標準差通常用作與給定資產相關的風險指標。
- 波動性高的資產具有較高的標準差，而穩定資產，例如合併公司的股票（藍籌股），往往具有較低的標準差。
然而，標準差的限制在於它將所有形式的不確定性解釋為風險，包括那些可能導致回報高於平均值的不確定性。
標準差的作用是什麼？
在金融領域，標準差被用作統計指標，當應用於投資的年回報率時，可以揭示其歷史波動性。
資產的標準差越高，表示其單一價格與平均值之間的變異性越大，表示價格範圍更寬。因此，波動性較大的資產（例如某些股票）具有較高的標準差，而那些被認為較穩定的資產（例如藍籌股）則具有較低的標準差。
標準差公式
標準差的計算是透過獲得一個值的平方根來進行的，該值是透過將每個數據點與給定總體的數據的一般平均值進行比較而確定的。公式為：
標準差計算程序
要計算標準差，請按照以下流程操作：
1. 首先，將所有數值相加並將結果除以資料點總數來決定資料的算術平均值。
2. 然後，計算每個數據點與平均值之間的差異，從而得出每個點的個體差異。
3. 下一步是將這些變化平方。
4. 之後，將所得的所有平方差相加。
5. 然後將該總數除以資料點總數減一。
6.最後將上一步所得的結果開平方。
標準差的用途
標準差在投資和交易中極為重要，因為它可以準確衡量市場和金融資產的波動性，有助於預測收益率趨勢。例如，在投資方面，與其參考指數相比標準差較小的指數基金表明它正在實現複製指數行為的目的。
另一方面，與相關市場指數相比，激進型成長基金預計將表現出更高的標準差，因為它們的經理採取更大膽的策略，試圖實現高於平均水平的回報。
然而，較小的標準差不一定更有利，因為一切都取決於投資的性質和投資者的風險傾向。在考慮投資組合的標準差時，投資者評估其波動承受能力和長期投資目標至關重要。激進型投資者可能更喜歡波動性較大的投資選擇，而保守型投資者可能會尋求波動性較小的投資選擇。
標準差是風險評估的基本指標之一，被金融分析師、投資組合經理人和投資顧問廣泛使用。金融機構經常揭露共同基金和其他金融產品的標準差，以便清楚了解回報與預期平均值的差異。由於它是一個易於解釋的指標，因此該統計數據會定期向客戶和投資者報告。
標準差與變異
變異數是透過以下方式獲得的：首先將資料集的值平均，從每個值中分別減去該平均值，對這些差值進行平方，最後對這些值的平均值進行平方。標準差又對應於該變化的平方根。這些過程可以藉助 Excel 等軟體有效率地進行。
變化量化了數據相對於平均值的離散程度。變化越大，資料值之間的離散性就越大，表示一個值與另一個值之間的距離可能會更大。如果資料值越接近，變異就會越小。然而，變化的解釋可能更複雜，因為它代表二次值，可能不容易與資料集中的原始值進行比較。
另一方面，標準差往往更直觀、更適用，以與原始數據相同的測量單位表示，並不一定會發生變化。透過標準差，可以辨識資料是服從常態分佈或呈現另一種形式的數學關係。
在常態分佈中，大約 68% 的數據位於平均值的一個標準差範圍內。較大的變化導致更多的數據超出該範圍，而較小的變化表明更多的數據接近平均值。
標準差的優點和缺點
優點
標準差是一種廣泛認可和使用的離散度量。由於投資和精算等不同領域的分析師和專業人士對它的熟悉程度，因此經常選擇該指標進行分析。
該措施考慮了資料集中的所有觀察結果，提供完整的分析。與僅關注最極端值的其他測量不同，標準差考慮每個資料點，提供更全面、更準確的離散度視圖。
可以使用組合標準差的特定公式來組合兩個不同資料集的標準差，這不適用於其他分散度量。此外，標準差可以整合到額外的代數計算中，從而將其與其他形式的統計分析區分開來。
劣勢
使用標準差時，您應該牢記一些注意事項。該測量並沒有明確表明某個值與平均值的距離有多遠，而是比較平方差，這是理解數據相對於平均值的分散性的一個重要細微差別。
遠離平均值或異常值的值會顯著影響標準差，主要是因為差異是平方的，從而增加了分析中這些極值點的效果。
最後，手動計算標準差可能具有挑戰性，需要幾個複雜的步驟，這會增加錯誤的風險。然而，透過使用先進的計算工具（例如彭博終端）可以最大限度地減少這一困難。
標準差範例
考慮一組由值 5、7、3 和 7 組成的數據，其總和為 22。為了求平均值，將該總數除以觀測值數量（在本例中為 5,5），得出平均值5,5。因此，我們的平均值 (\(x̄\)) 為 4，資料總數 (\(N\)) 等於 XNUMX。
為了計算方差，減去資料集中每個值的平均值，得到差異 -0,5、1,5、-2,5 和 1,5。然後將這些差值平方，分別得到 0,25、2,25、6,25 和 2,25。這些平方值的總和為 11，除以 \(N-1\)（在本例中為 3），所得的變異數約為 3,67。
此變異數的平方根給出了標準差，大約為 1,915。
以蘋果（AAPL）股票五年為例，88,97年年化報酬率為2019%，82,31年為2020%，34,65年為2021%，26,41年為-2022%，28,32年為2023%，這些年的平均回報率五年為41,57%。
減去每年的平均回報率，我們分別得到47,40%、40,74%、-6,92%、-67,98%和-13,25%。將這些值平方後，我們得到 22,47%、16,60%、0,48%、46,21% 和 2,42%。這些平方值的總和是 0,882。將該值除以 4 (\(N-1\))，我們得到的變異數為 0,220。
此變異數的平方根是標準差，結果為 0,469 或 46,90%。
結論
標準差作為一種基本統計工具出現，用於測量一組資料相對於其平均值的離散度。透過實際例子，例如蘋果股票的表現或一組簡單的數字，示範如何計算變異數和標準差，闡明了每個指標在解釋波動性和數據分散性方面的相關性。
了解標準差對於金融、科學研究和工程等多個領域至關重要，因為它可以洞察分析數據的一致性或可變性。高標準差表示數值在平均值周圍的分散程度較大，表示波動性或不一致，而低值表示資料在平均值周圍更聚集，表示穩定性。
常見問題
高標準差說明什麼？
高標準差表示資料集中的值與平均值相差很大，表示資料存在相當大的分散性。另一方面，低標準差表示數據更集中在平均值附近。
透過標準差可以獲得什麼資訊？
標準差提供了一組數據的分散程度，表明數值是否接近或遠離平均值。在常態分佈中，它可以讓您了解資料相對於平均值的分佈。
如何快速確定標準差？
對資料分佈的可視化分析可以顯示離散程度是寬還是窄。離差較大的分佈具有較高的標準差。對於具體的計算，Excel等軟體有專門計算標準差的功能，可以更容易獲得這種測量結果。
標準差是如何計算的？
標準差是根據變異數的平方根計算出來的。這個過程包括確定資料集的平均值，計算每個資料點與平均值之間的差異，對這些差異進行平方，對結果求和，除以觀測值的數量減一，最後提取結果的平方根。
