표준편차와 분산: 공식 및 용도

표준편차란 무엇입니까?

표준편차는 다음을 나타냅니다. اتحاد المغرب العربي 평균을 중심으로 주어진 데이터 세트 값의 변동 또는 분산을 정량화하는 통계적 척도입니다. 이 계산은 분산의 제곱근을 추출하여 수행되므로 각 개별 값이 설정된 평균과 어느 정도 차이가 나는지 쉽게 이해할 수 있습니다.

실제로 평균을 중심으로 값이 널리 분산된 데이터 세트는 표준 편차가 높습니다. 이는 데이터의 분산이 클수록 표준편차 값이 커짐을 나타냅니다.

장점

• 표준 편차는 앙상블 평균과 비교하여 데이터 분산의 정량적 분석을 제공합니다.
• 이는 분산의 제곱근 계산을 통해 결정됩니다.
• 금융 분야에서 표준편차는 특정 자산과 관련된 위험을 나타내는 지표로 자주 사용됩니다.
• 변동성이 큰 자산은 표준편차가 높은 반면, 연결회사(블루칩)의 주식과 같은 안정적인 자산은 표준편차가 낮은 경향이 있습니다.

그러나 표준 편차의 한계는 평균 이상의 수익을 가져올 수 있는 불확실성을 포함하여 모든 형태의 불확실성을 위험으로 해석한다는 것입니다.

표준편차의 기능은 무엇입니까?

재무적 맥락에서 표준편차는 투자의 연간 수익률에 적용할 때 과거 변동성을 나타내는 통계적 척도로 사용됩니다.

자산의 표준 편차가 높을수록 개별 가격과 평균 가격 간의 변동성이 더 크다는 것을 의미하며 가격 범위가 더 넓다는 것을 의미합니다. 따라서 특정 주식과 같이 변동성이 더 큰 자산은 표준 편차가 더 높고, 블루칩 주식과 같이 더 안정적이라고 간주되는 자산은 표준 편차가 더 낮습니다.

표준편차 공식

표준편차 계산은 각 데이터 포인트를 특정 모집단의 데이터 일반 ​​평균과 비교하여 결정된 값의 제곱근을 구하여 수행됩니다. 공식은 다음과 같습니다.

 

표준편차 계산 절차

표준편차를 계산하려면 다음 과정을 따르세요.

1. 먼저, 모든 값을 더한 후 그 결과를 총 데이터 포인트 수로 나누어 데이터의 산술 평균을 결정합니다.
2. 그런 다음 각 데이터 포인트의 차이와 평균을 계산하여 각 포인트의 개인차가 발생합니다.
3. 다음 단계는 이러한 각 변형을 제곱하는 것입니다.
4. 그 후, 얻은 모든 제곱 변형이 함께 추가됩니다.
5. 그런 다음 이 합계를 총 데이터 포인트 수에서 XNUMX을 뺀 값으로 나눕니다.
6. 마지막으로 이전 단계에서 얻은 결과의 제곱근이 추출됩니다.

표준편차의 사용

표준편차는 시장 및 금융 자산 변동성을 정확하게 측정하고 수익률 추세를 예측하는 데 기여하므로 투자 및 거래 맥락에서 매우 관련성이 높습니다. 예를 들어, 투자의 맥락에서 기준 지수에 비해 표준 편차가 감소한 인덱스 펀드는 해당 지수의 행동을 복제한다는 목적을 달성하고 있음을 보여줍니다.

반면, 공격적인 성장형 펀드는 운용사가 평균보다 높은 수익률을 달성하기 위해 과감한 전략을 채택함에 따라 관련 시장 지수 대비 높은 표준편차를 보일 것으로 예상됩니다.

그러나 표준편차가 작을수록 반드시 더 유리한 것은 아닙니다. 왜냐하면 모든 것은 투자의 성격과 투자자의 위험 성향에 달려 있기 때문입니다. 포트폴리오의 표준편차를 고려할 때 투자자가 변동성 허용 범위와 장기 투자 목표를 평가하는 것이 중요합니다. 보다 공격적인 프로필을 가진 투자자는 변동성이 더 큰 투자 옵션을 선호할 수 있는 반면, 보다 보수적인 프로필을 가진 투자자는 변동성이 덜한 대안을 찾을 수 있습니다.

표준편차는 재무 분석가, 포트폴리오 관리자 및 투자 컨설턴트가 널리 사용하는 위험 평가의 기본 지표 중 하나입니다. 금융 기관은 종종 뮤추얼 펀드 및 기타 금융 상품의 표준 편차를 공개하여 예상 평균과 수익률이 어떻게 다른지에 대한 명확한 보기를 제공합니다. 해석하기 쉬운 지표이므로 정기적으로 고객과 투자자에게 보고됩니다.

표준편차와 변동

분산은 먼저 데이터 세트의 값을 평균화하고 각 값에서 개별적으로 해당 평균을 뺀 다음 차이를 제곱하고 마지막으로 해당 값의 평균을 제곱하여 얻습니다. 표준편차는 이 변동의 제곱근에 해당합니다. 이러한 절차는 Excel과 같은 소프트웨어의 도움으로 효율적으로 수행될 수 있습니다.

변동은 평균값과 관련하여 데이터 분산의 진폭을 정량화합니다. 변동이 클수록 데이터 값 간의 분산도 커집니다. 이는 한 값과 다른 값 사이의 거리가 더 커질 가능성을 나타냅니다. 데이터 값이 서로 가까울수록 변화는 더 작아집니다. 그러나 변형의 해석은 2차 값을 나타내기 때문에 더 복잡할 수 있으며, 이는 데이터 세트의 원래 값과 쉽게 비교할 수 없습니다.

반면, 표준편차는 원본 데이터와 동일한 측정 단위로 표현되므로 더 직관적이고 적용 가능한 경향이 있으며, 이는 반드시 변동으로 발생하지는 않습니다. 표준편차를 통해 데이터가 정규분포를 따르는지, 아니면 다른 형태의 수학적 관계를 나타내는지 확인할 수 있습니다.

정규 분포에서는 데이터의 약 68%가 평균의 XNUMX표준편차 내에 있습니다. 변동이 클수록 이 범위를 벗어나는 데이터가 많아지고, 변동이 작을수록 평균에 가까운 데이터가 많아집니다.

표준편차의 장점과 단점

장점

표준편차는 널리 인식되고 사용되는 분산 척도입니다. 투자 및 보험계리 과학과 같은 다양한 분야의 분석가 및 전문가들 사이에 친숙하기 때문에 이 측정항목은 종종 분석을 위해 선택됩니다.

이 측정은 데이터 세트의 모든 관찰을 고려하여 완전한 분석을 제공합니다. 가장 극단적인 값에만 초점을 맞추는 다른 측정값과 달리 표준 편차는 각 데이터 포인트를 고려하여 분산에 대한 보다 포괄적이고 정확한 보기를 제공합니다.

다른 분산 측정에는 적용되지 않는 결합된 표준 편차에 대한 특정 공식을 사용하여 두 개의 서로 다른 데이터 세트의 표준 편차를 결합하는 것이 가능합니다. 또한 표준 편차는 추가 대수 계산에 통합될 수 있어 다른 형태의 통계 분석과 차별화됩니다.

단점

표준편차를 사용할 때는 몇 가지 고려 사항을 염두에 두어야 합니다. 이 측정값은 값이 평균에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지 명시적으로 나타내지 않고 오히려 평균에 대한 데이터의 분산을 이해하는 데 중요한 뉘앙스인 차이의 제곱을 비교합니다.

평균에서 매우 멀리 떨어진 값 또는 이상값은 표준 편차에 큰 영향을 미칩니다. 이는 주로 차이가 제곱되어 분석에서 이러한 극단적인 점의 효과가 증가하기 때문입니다.

마지막으로 표준 편차를 수동으로 계산하는 것은 어려울 수 있으며 오류 위험을 높이는 여러 복잡한 단계가 필요합니다. 그러나 Bloomberg 터미널과 같은 고급 계산 도구를 사용하면 이러한 어려움을 최소화할 수 있습니다.

표준편차의 예

5, 7, 3, 7 값으로 구성된 데이터 세트를 생각해 보세요. 그 합은 22입니다. 평균을 찾기 위해 이 합계를 관측치 수(이 경우 5,5개)로 나누어 평균을 얻습니다. 5,5의. 따라서 평균(\(x̄\))은 4이고 총 데이터 수(\(N\))는 XNUMX입니다.

분산을 계산하려면 데이터 세트의 각 값의 평균을 빼서 -0,5, 1,5, -2,5 및 1,5의 차이를 얻습니다. 그런 다음 이러한 차이를 제곱하여 각각 0,25, 2,25, 6,25 및 2,25가 됩니다. 이 제곱 값의 합은 11이며, 이를 \(N-1\)(이 경우 3)로 나누면 약 3,67의 분산이 생성됩니다.

이 분산의 제곱근은 대략 1,915인 표준 편차를 제공합니다.

Apple(AAPL) 주식을 88,97년간 예로 들면, 2019년 82,31%, 2020년 34,65%, 2021년 26,41%, 2022년 -28,32%, 2023년 41,57%의 연간 수익률을 기록했으며, 이들에 대한 평균 수익률은 XNUMX년은 XNUMX%이다.

연도별 평균 수익률을 빼면 각각 47,40%, 40,74%, -6,92%, -67,98%, -13,25%를 얻습니다. 이 값을 제곱하면 22,47%, 16,60%, 0,48%, 46,21%, 2,42%가 됩니다. 이 제곱 값의 합은 0,882입니다. 이 값을 4(\(N-1\))로 나누면 0,220의 분산을 얻습니다.

이 분산의 제곱근은 표준 편차이며, 결과적으로 0,469 또는 46,90%가 됩니다.

결론

표준편차는 평균과 관련하여 데이터 세트의 분산을 측정하기 위한 기본 통계 도구로 등장합니다. Apple 주식의 성과 또는 간단한 숫자 집합과 같은 실제 사례를 통해 분산과 표준 편차를 모두 계산하는 방법을 시연하고 변동성과 데이터 분산을 해석하는 데 있어 각 측정값의 관련성을 설명했습니다.

표준 편차를 이해하는 것은 분석된 데이터의 일관성이나 변동성에 대한 통찰력을 제공하므로 금융, 과학 연구, 엔지니어링을 포함한 여러 분야에서 매우 중요합니다. 표준 편차가 높으면 평균을 중심으로 값이 더 많이 분산되어 변동성 또는 불일치가 있음을 나타내고, 값이 낮으면 데이터가 평균을 중심으로 더 많이 밀집되어 안정성을 나타냅니다.

일반적인 질문

높은 표준편차는 무엇을 나타냅니까?

표준 편차가 높다는 것은 데이터 세트의 값이 평균과 크게 다르다는 신호이며, 이는 데이터의 상당한 분산을 나타냅니다. 반면, 낮은 표준 편차는 데이터가 평균 주위에 더 집중되어 있음을 나타냅니다.

표준편차를 통해 어떤 정보를 얻을 수 있나요?

표준편차는 데이터 세트에 대한 분산 척도를 제공하여 값이 평균에 가깝거나 멀다는 것을 나타냅니다. 정규 분포에서는 평균을 기준으로 데이터가 얼마나 분산되어 있는지 이해할 수 있습니다.

표준편차를 빠르게 결정하는 방법은 무엇입니까?

데이터 분포를 시각적으로 분석하면 분산이 넓은지 좁은지 알 수 있습니다. 분산이 큰 분포는 표준 편차가 더 높습니다. 특정 계산의 경우 Excel과 같은 소프트웨어에는 표준 편차 계산 전용 기능이 있어 이 측정값을 더 쉽게 얻을 수 있습니다.

표준편차는 어떻게 계산되나요?

표준편차는 분산의 제곱근으로 계산됩니다. 이 프로세스에는 데이터 세트의 평균을 결정하고, 각 데이터 포인트와 평균 사이의 차이를 계산하고, 이러한 차이를 제곱하고, 결과를 합산하고, 관측치 수에서 1을 뺀 값으로 나누고, 마지막으로 결과의 제곱근을 추출하는 과정이 포함됩니다.