標準偏差と分散: 公式と用途

標準偏差とは何ですか?

標準偏差は次のことを表します A 平均を中心とした特定のデータセットの値の変動または分散を定量化する統計的尺度。この計算は、分散の平方根を抽出することによって実行されます。これにより、個々の値が設定された平均からどの程度異なるかを理解しやすくなります。

実際には、値が平均値の周囲に広く分散しているデータセットでは、標準偏差が高くなります。これは、データの分散が大きいほど、標準偏差の値が大きくなることを示しています。

Benefícios

• 標準偏差は、アンサンブル平均と比較したデータの分散の定量的分析を提供します。
• これは、分散の平方根の計算によって決定されます。
• 金融の分野では、標準偏差は特定の資産に関連するリスクの指標としてよく使用されます。
• ボラティリティの高い資産の標準偏差は高くなりますが、連結会社の株式 (優良株) などの安定した資産の標準偏差は低くなる傾向があります。

ただし、標準偏差の限界は、平均を超えるリターンをもたらす可能性のあるものを含め、あらゆる形態の不確実性をリスクとして解釈することです。

標準偏差の関数は何ですか?

金融の文脈では、標準偏差は、投資の年間収益率に適用されると、その歴史的な変動性を明らかにする統計指標として使用されます。

資産の標準偏差が高いほど、個々の価格と平均の間のばらつきが大きく、価格範囲が広いことを示します。したがって、特定の株式など、ボラティリティが大きい資産の標準偏差は高くなりますが、優良株など、より安定していると考えられる資産の標準偏差は低くなります。

標準偏差の計算式

標準偏差の計算は、各データ ポイントを特定の母集団からのデータの一般平均と比較することによって決定される値の平方根を取得することによって実行されます。式は次のとおりです。

 

標準偏差の計算手順

標準偏差を計算するには、以下のプロセスに従います。

1. まず、すべての値を合計し、その結果をデータ ポイントの総数で割ることにより、データの算術平均が求められます。
2. 次に、各データ点と平均値との差が計算され、その結果、各点の個体差が生じます。
3. 次のステップは、これらの変動をそれぞれ XNUMX 乗することです。
4. その後、得られたすべての平方変化が加算されます。
5. 次に、この合計をデータ ポイントの合計数から XNUMX を引いた値で割ります。
6. 最後に、前のステップで得られた結果の平方根が抽出されます。

標準偏差の使用法

標準偏差は、市場と金融資産のボラティリティの正確な測定値を提供し、利回りトレンドの予測に貢献するため、投資や取引の文脈において非常に重要です。たとえば、投資のコンテキストでは、参照インデックスと比較して標準偏差が小さいインデックス ファンドは、インデックスの動作を再現するという目的を達成していることを示します。

一方、積極的な成長ファンドは、運用会社が平均よりも高いリターンを達成しようとしてより大胆な戦略を採用するため、関連する市場指数と比較してより高い標準偏差を示すことが予想されます。

ただし、すべては投資の性質と投資家のリスク傾向に依存するため、標準偏差が小さいほど有利であるとは限りません。ポートフォリオの標準偏差を考慮する場合、投資家がボラティリティ許容度と長期的な投資目標を評価することが重要です。より積極的なプロファイルを持つ投資家は、よりボラティリティの高い投資オプションを好む可能性がありますが、より保守的なプロファイルを持つ投資家は、よりボラティリティの低い代替案を求める可能性があります。

標準偏差はリスク評価の基本的な指標の 1 つであり、金融​​アナリスト、ポートフォリオ マネージャー、投資コンサルタントによって広く使用されています。金融機関は投資信託やその他の金融商品の標準偏差を開示することが多く、リターンが期待平均からどのように変化するかを明確に把握できます。解釈しやすい指標であるため、この統計は顧客や投資家に定期的に報告されます。

標準偏差と分散

分散は、最初にデータセットの値を平均し、その平均を各値から個別に引き、それらの差を二乗し、最後にそれらの値の平均を二乗することによって取得されます。標準偏差は、この変動の平方根に対応します。これらの作業はExcelなどのソフトを利用することで効率的に行うことができます。

変動は、平均値に対するデータの分散の振幅を定量化します。変動が大きいほど、データ値間の分散が大きくなり、ある値と別の値の間の距離が大きくなる可能性を示します。データ値が互いに近いほど、ばらつきは小さくなります。ただし、変化の解釈は二次値を表すため、より複雑になる可能性があり、データセット内の元の値と簡単に比較できない可能性があります。

一方、標準偏差は、元のデータと同じ測定単位で表現されるため、より直感的で適用しやすい傾向にありますが、変動によって必ずしも発生するとは限りません。標準偏差を使用すると、データが正規分布に従っているか、別の形式の数学的関係を示しているかを識別することができます。

正規分布では、データの約 68% が平均の XNUMX 標準偏差以内にあります。変動が大きいほど、この範囲外のデータが多くなりますが、変動が小さいほど、より多くのデータが平均に近いことを示します。

標準偏差の長所と短所

利点

標準偏差は分散の尺度として広く認識され、使用されています。投資や保険数理など、さまざまな分野のアナリストや専門家の間でよく知られているため、この指標は分析によく選択されます。

この測定では、データセット内のすべての観測値が考慮され、完全な分析が提供されます。最も極端な値のみに焦点を当てる他の測定とは異なり、標準偏差では各データ ポイントが考慮され、分散についてより包括的かつ正確なビューが得られます。

結合標準偏差の特定の式を使用して、2 つの異なるデータ セットの標準偏差を結合することができます。この式は、分散の他の尺度には適用されません。さらに、標準偏差を追加の代数計算に統合して、他の形式の統計分析と区別することができます。

短所

標準偏差を使用する場合は、いくつかの考慮事項に留意する必要があります。この測定は、値が平均からどれだけ離れているかを明示的に示すものではなく、二乗差を比較します。これは、平均に対するデータの分散を理解する上で重要なニュアンスです。

平均値から非常に離れた値、または外れ値は、主に差が二乗され、分析におけるこれらの極端な点の影響が増大するため、標準偏差に大きな影響を与えます。

最後に、標準偏差を手動で計算することは困難な場合があり、いくつかの複雑な手順が必要となり、エラーのリスクが高まります。ただし、この問題は、ブルームバーグ ターミナルなどの高度な計算ツールを使用することで最小限に抑えることができます。

標準偏差の例

値 5、7、3、および 7 で構成され、合計が 22 になる一連のデータを考えます。平均を求めるには、この合計を観測値の数 (この場合は 5,5) で割って、平均値を求めます。 5,5の。したがって、平均 (\(x̄\)) は 4、データの総数 (\(N\)) は XNUMX となります。

分散を計算するには、データセット内の各値の平均が減算され、差 -0,5、1,5、-2,5、および 1,5 が得られます。これらの差は二乗され、それぞれ 0,25、2,25、6,25、2,25 となります。これらの二乗値の合計は 11 で、これを \(N-1\) (この場合は 3) で割ると、分散は約 3,67 になります。

この分散の平方根から標準偏差が得られ、これは約 1,915 になります。

Apple (AAPL) 株を 88,97 年間の例として挙げると、2019 年の年間リターンは 82,31%、2020 年は 34,65%、2021 年は 26,41%、2022 年は -28,32%、2023 年は 41,57% となり、これらの平均リターンはXNUMX年はXNUMX%です。

各年の平均リターンを差し引くと、それぞれ 47,40%、40,74%、-6,92%、-67,98%、-13,25% となります。これらの値を二乗すると、22,47%、16,60%、0,48%、46,21%、2,42% になります。これらの二乗値の合計は 0,882 です。この値を 4 (\(N-1\)) で割ると、分散 0,220 が得られます。

この分散の平方根は標準偏差で、結果は 0,469、つまり 46,90% になります。

結論

標準偏差は、平均に対する一連のデータの分散を測定するための基本的な統計ツールとして登場します。 Apple 株のパフォーマンスや単純な数値セットなどの実践的な例を通じて、分散と標準偏差の両方を計算する方法を示し、ボラティリティとデータの分散を解釈する際の各尺度の関連性を明らかにしました。

標準偏差を理解することは、分析されたデータの一貫性や変動性についての洞察を提供するため、金融、科学研究、工学などのいくつかの分野にとって非常に重要です。標準偏差が高い場合は、平均値付近の値のばらつきが大きいことを示し、変動性または不一致があることを示します。一方、値が低い場合は、データが平均付近でより集中していることを示し、安定性を示します。

よくある質問

標準偏差が高いということは何を示しているのでしょうか?

標準偏差が高いということは、データセット内の値が平均から大幅に変化していることを示しており、データにかなりのばらつきがあることを示しています。一方、標準偏差が低い場合は、データが平均値付近に集中していることを示します。

標準偏差からどのような情報が得られるのでしょうか?

標準偏差は、値が平均に近いか遠いかを示す、一連のデータの分散の尺度を提供します。正規分布では、平均に対してデータがどの程度広がっているかを理解できます。

標準偏差を素早く決定するにはどうすればよいでしょうか?

データ分布を視覚的に分析すると、分散が広いか狭いかを示すことができます。分散が大きい分布ほど、標準偏差が高くなります。特定の計算については、Excel などのソフトウェアに標準偏差の計算専用の機能があり、この測定値を簡単に取得できます。

標準偏差はどのように計算されますか?

標準偏差は分散の平方根から計算されます。このプロセスには、データ セットの平均の決定、各データ ポイントと平均の差の計算、これらの差の 2 乗、結果の合計、観測値の数から 1 を引いた値での除算、そして最後に結果の平方根の抽出が含まれます。