Ebben a cikkben a következőkről lesz szó:
Mi az a szórás?
A szórás azt jelenti a statisztikai mérőszám, amely számszerűsíti egy adott adathalmaz értékeinek változását vagy szórását az átlag körül. Ez a számítás a variancia négyzetgyökének kinyerésével történik, ami megkönnyíti annak megértését, hogy az egyes értékek mennyiben térnek el a beállított átlagtól.
A gyakorlatban egy olyan adathalmaz, amelynek értékei széles körben eloszlanak az átlag körül, nagy szórást eredményez. Ez azt jelzi, hogy minél nagyobb az adatok szórása, annál nagyobb a szórása.
Előnyök
- A szórás az adatok szóródásának kvantitatív elemzését adja az együttes átlaghoz képest.
- Ezt a variancia négyzetgyökének kiszámításával határozzák meg.
- A pénzügyi szférában a szórást gyakran használják az adott eszközhöz kapcsolódó kockázat mutatójaként.
- A nagy volatilitású eszközök nagy szórással rendelkeznek, míg a stabil eszközök, például a konszolidált társaságok részvényei (blue chipek) általában alacsony szórással rendelkeznek.
A szórás korlátozása azonban az, hogy a bizonytalanság minden formáját kockázatként értelmezi, beleértve azokat is, amelyek az átlag feletti hozamot eredményezhetik.
Mi a szórás funkciója?
Pénzügyi kontextusban a szórást statisztikai mérőszámként használják, amely egy befektetés éves megtérülési rátájára alkalmazva megmutatja annak korábbi volatilitását.
Egy eszköz nagyobb szórása nagyobb ingadozást jelez az egyes árai és az átlag között, ami szélesebb ártartományra utal. Így a nagyobb volatilitású eszközök, mint például bizonyos részvények, nagyobb szórással rendelkeznek, míg a stabilabbnak tartottak, mint például a blue chip részvények, kisebb szórással.
Szórási képlet
A szórás kiszámítása egy érték négyzetgyökének meghatározásával történik, amelyet úgy határoznak meg, hogy az egyes adatpontokat összehasonlítják egy adott sokaság adatainak általános átlagával. A képlet a következő:
A szórás kiszámításának eljárása
A szórás kiszámításához kövesse az alábbi eljárást:
1. Először az adatok számtani középértékét határozzuk meg úgy, hogy az összes értéket összeadjuk, és az eredményt elosztjuk az adatpontok teljes számával.
2. Ezután kiszámítjuk az egyes adatpontok és az átlag közötti különbséget, ami az egyes pontok egyedi variációját eredményezi.
3. A következő lépés az egyes változatok négyzetre emelése.
4. Ezt követően az összes kapott négyzetes variációt összeadjuk.
5. Ezt az összeget elosztjuk az adatpontok teljes számával mínusz egy.
6. Végül kivonjuk az előző lépésben kapott eredmény négyzetgyökét.
A szórás használata
A szórás rendkívül releváns a befektetések és a kereskedés kontextusában, mivel pontosan méri a piaci és pénzügyi eszközök volatilitását, hozzájárulva a hozamtrendek előrejelzéséhez. A befektetésekkel összefüggésben például egy indexalap, amely a referenciaindexéhez képest kisebb szórással rendelkezik, azt mutatja, hogy teljesíti célját, az index viselkedését.
Másrészt az agresszív növekedési alapoktól a releváns piaci indexekhez képest nagyobb szórással kell számolni, mivel menedzsereik merészebb stratégiákat alkalmaznak az átlagosnál magasabb hozam elérésére.
A kisebb szórás azonban nem feltétlenül előnyösebb, hiszen minden a befektetések jellegétől és a befektető kockázati hajlamától függ. Portfóliójuk szórásának mérlegelésekor döntő fontosságú, hogy a befektetők értékeljék volatilitástűrő képességüket és hosszú távú befektetési céljaikat. Az agresszívebb profilú befektetők a nagyobb volatilitású befektetési lehetőségeket részesíthetik előnyben, míg a konzervatívabb profilúak kevésbé volatilis alternatívákat kereshetnek.
A szórás a kockázatértékelés egyik alapvető mérőszáma, amelyet széles körben alkalmaznak a pénzügyi elemzők, portfóliókezelők és befektetési tanácsadók. A pénzintézetek gyakran nyilvánosságra hozzák a befektetési alapok és más pénzügyi termékek szórását, világos képet adva arról, hogy a hozamok hogyan térnek el a várt átlagtól. Mivel egy könnyen értelmezhető mutatóról van szó, ezt a statisztikát rendszeresen közöljük az ügyfelekkel és a befektetőkkel.
Szórás vs. variáció
A szórást úgy kapjuk meg, hogy először átlagoljuk egy adatkészlet értékét, külön-külön kivonjuk az átlagot az egyes értékekből, a különbségeket négyzetre emeljük, végül pedig az értékek átlagát. A szórás pedig ennek az eltérésnek a négyzetgyökének felel meg. Ezek az eljárások hatékonyan végrehajthatók olyan szoftverek segítségével, mint például az Excel.
A variáció számszerűsíti az adatok szórásának amplitúdóját az átlagértékhez viszonyítva. Minél nagyobb a szórás, annál nagyobb az adatértékek közötti diszperzió, ami azt jelzi, hogy az egyik érték és a másik közötti távolság nagyobb lehet. Ha az adatértékek közelebb vannak egymáshoz, az eltérés kisebb lesz. A variáció értelmezése azonban bonyolultabb lehet, mivel másodfokú értéket jelent, ami nem biztos, hogy könnyen összevethető az adatkészletben szereplő eredeti értékekkel.
A szórás viszont inkább intuitív és alkalmazható, mivel az eredeti adattal azonos mértékegységben van kifejezve, ami nem feltétlenül fordul elő változással. A szórással megállapítható, hogy az adatok normális eloszlást követnek, vagy másfajta matematikai összefüggést mutatnak be.
Normál eloszlásban az adatok megközelítőleg 68%-a az átlag egy szórásán belül van. A nagyobb eltérések több adatot eredményeznek ezen a tartományon kívül, míg a kisebb eltérések azt jelzik, hogy több adat közelíti az átlagot.
A szórás előnyei és hátrányai
Előnyök
A szórás a diszperzió széles körben elismert és használt mértéke. Mivel az elemzők és a különböző területek – például a befektetések és az aktuáriusi tudomány – szakemberei ismerik ezt a mérőszámot, gyakran választják elemzésre.
Ez az intézkedés figyelembe veszi az adathalmaz összes megfigyelését, és teljes elemzést kínál. Más mérésekkel ellentétben, amelyek csak a legszélsőségesebb értékekre összpontosítanak, a szórás minden adatpontot figyelembe vesz, így átfogóbb és pontosabb képet ad a szórásról.
Lehetőség van két különálló adatkészlet szórásának kombinálására a kombinált szórás speciális képletével, ami nem vonatkozik más szórásra. Ezenkívül a szórás további algebrai számításokba integrálható, megkülönböztetve a statisztikai elemzés más formáitól.
Hátrányok
A szórás használatakor tartson szem előtt néhány szempontot. Ez a mérőszám nem jelzi kifejezetten, hogy egy érték milyen messze van az átlagtól, hanem a négyzetes különbségeket hasonlítja össze, ami fontos árnyalat az adatok átlaghoz viszonyított szórásának megértésében.
Az átlagtól nagyon távoli értékek vagy kiugró értékek jelentősen befolyásolják a szórást, főleg azért, mert a különbségek négyzetesek, növelve ezen szélsőséges pontok hatását az elemzésben.
Végül, a szórás manuális kiszámítása kihívást jelenthet, mivel több összetett lépést igényel, amelyek növelik a hibák kockázatát. Ez a nehézség azonban minimálisra csökkenthető fejlett számítási eszközök, például a Bloomberg terminál használatával.
Példák a szórásra
Tekintsünk egy 5, 7, 3 és 7 értékekből álló adathalmazt, amelyek összege 22. Az átlag kiszámításához ezt az összeget elosztjuk a megfigyelések számával, amely ebben az esetben négy, így átlagot kapunk. 5,5. Ezért az átlag (\(x̄\)) 5,5, az adatok teljes száma (\(N\)) pedig 4.
A variancia kiszámításához az adathalmaz egyes értékeinek átlagát kivonjuk, így a -0,5, 1,5, -2,5 és 1,5 különbséget kapjuk. Ezeket a különbségeket azután négyzetre emeljük, ami 0,25, 2,25, 6,25 és 2,25 lesz. Ezeknek a négyzetes értékeknek az összege 11, ami elosztva \(N-1\)-vel (jelen esetben 3-mal) körülbelül 3,67 szórást eredményez.
Ennek a szórásnak a négyzetgyöke adja meg a szórást, amely körülbelül 1,915.
Példaként az Apple (AAPL) részvényeit öt éven keresztül, amelyek éves hozama 88,97-ben 2019%, 82,31-ban 2020%, 34,65-ben 2021%, 26,41-ben -2022%, 28,32-ban pedig 2023% volt. öt év 41,57%.
Az egyes évek átlagos hozamát levonva 47,40%, 40,74%, -6,92%, -67,98% és -13,25% -ot kapunk. Ezen értékek négyzetre emelése után 22,47%, 16,60%, 0,48%, 46,21% és 2,42%. Ezeknek a négyzetes értékeknek az összege 0,882. Ezt az értéket elosztva 4-gyel (\(N-1\)) 0,220 szórást kapunk.
Ennek a szórásnak a négyzetgyöke a szórás, ami 0,469 vagy 46,90%-ot eredményez.
Következtetés
A szórás alapvető statisztikai eszközként jelenik meg egy adathalmaz átlaghoz viszonyított szórásának mérésére. Gyakorlati példákon keresztül, például az Apple részvények teljesítményén vagy egy egyszerű számkészleten keresztül bemutatták, hogyan számítható ki mind a variancia, mind a szórás, megvilágítva az egyes mérőszámok relevanciáját a volatilitás és az adatszóródás értelmezésében.
A szórás megértése kulcsfontosságú számos területen, beleértve a pénzügyet, a tudományos kutatást és a mérnöki munkát, mivel betekintést nyújt az elemzett adatok konzisztenciájába vagy változékonyságába. A magas szórás az értékek nagyobb szóródását jelzi az átlag körül, ami volatilitásra vagy inkonzisztenciára utal, míg az alacsony érték arra utal, hogy az adatok inkább az átlag körül csoportosulnak, ami stabilitást jelez.
Gyakori kérdések
Mit jelez a nagy szórás?
A nagy szórás azt jelzi, hogy az adatkészletben szereplő értékek jelentősen eltérnek az átlagtól, ami az adatok jelentős szórását mutatja. Másrészt az alacsony szórás azt jelzi, hogy az adatok jobban koncentrálódnak az átlag körül.
Milyen információkat kapunk a szórással?
A szórás egy adathalmaz szóródásának mértékét adja meg, jelezve, hogy az értékek közel vannak-e az átlaghoz vagy távol vannak attól. Normál eloszlásban lehetővé teszi annak megértését, hogy az adatok mennyire oszlanak el az átlaghoz képest.
Hogyan határozható meg gyorsan a szórás?
Az adateloszlás vizuális elemzése jelezheti, hogy a szóródás széles vagy szűk. A nagyobb szórással rendelkező eloszlások nagyobb szórással rendelkeznek. Speciális számításokhoz az olyan szoftverek, mint az Excel, rendelkeznek a szórás kiszámítására szolgáló funkciókkal, amelyek megkönnyítik ennek a mérésnek a lekérését.
Hogyan számítják ki a szórást?
A szórást a variancia négyzetgyökéből számítjuk. Ez a folyamat magában foglalja az adathalmaz átlagának meghatározását, az egyes adatpontok és az átlag közötti különbségek kiszámítását, a különbségek négyzetre emelését, az eredmények összegzését, az elosztást a megfigyelések számával mínusz eggyel, végül az eredmény négyzetgyökének kinyerését.
