O Que é R-Quadrado (R²)? Fórmula

O Que é R-Quadrado (R²)?

R-quadrado (R²) é um indicador estatístico que mostra a fração da variação numa variável dependente que é prevista ou explicada por uma ou mais variáveis independentes em um modelo de regressão. Este índice é crucial para determinar a eficácia com que um modelo consegue representar os dados observados.

Diferentemente da correlação, que avalia a intensidade e a direção da relação entre variáveis, R-quadrado quantifica em que medida a variação de uma variável é explicada pela variação de outra. Por exemplo, um valor de R² igual a 0,50 sugere que aproximadamente 50% da variação observada pode ser justificada pelo modelo proposto.

Cálculo de R-quadrado

A determinação do R-quadrado envolve várias etapas. Primeiro, é necessário coletar as observações das variáveis dependente e independente e estabelecer a linha de regressão mais adequada, geralmente por meio de um modelo de regressão. Em seguida, calculam-se os valores estimados, subtraindo-se os valores observados e elevando os resíduos ao quadrado, o que resulta numa série de erros quadráticos. Esses erros são somados, representando a variância não explicada.

Para computar a variância total, subtrai-se a média dos valores observados de cada valor real, eleva-se ao quadrado e soma-se esses valores. Dividindo-se a soma dos erros quadráticos pela variância total e subtraindo o resultado de um, obtém-se o valor de R-quadrado.

Implicações do R-quadrado

No contexto financeiro, R-quadrado é interpretado como a proporção dos movimentos de preço de um ativo financeiro que pode ser explicada por movimentos em um índice de referência. Por exemplo, no caso de um título de renda fixa em relação a um índice de títulos, R-quadrado indica que fração da variação do preço do título é previsível a partir das variações do índice.

Esse conceito também é aplicável a ações em comparação com índices como o S&P 500, sendo então denominado coeficiente de determinação. R-quadrado varia entre 0 e 1, podendo ser expresso em percentuais de 0% a 100%. Um R-quadrado de 100% indica que todos os movimentos do ativo são totalmente explicados pelos movimentos no índice referência.

Em investimentos, um R-quadrado alto, entre 85% e 100%, sugere que o desempenho do ativo acompanha de perto o índice. Por outro lado, um R-quadrado abaixo de 70% mostra que o ativo não segue as tendências do índice de forma consistente. Um valor mais alto de R-quadrado também implica um beta mais preciso, significando que, se um ativo ou fundo tem um R-quadrado próximo de 100% mas um beta inferior a 1, tende a oferecer retornos ajustados ao risco superiores.

R-quadrado Vs. R-quadrado Ajustado

O conceito de R-quadrado é idealmente aplicado em modelos de regressão linear simples, que incorporam apenas uma variável explicativa. Contudo, em situações onde a regressão múltipla é empregada, contando com várias variáveis independentes, é apropriado recorrer ao R-quadrado ajustado para uma análise mais precisa.

O R-quadrado ajustado é utilizado para avaliar a capacidade explicativa de modelos de regressão que diferem quanto ao número de preditores utilizados. A inclusão de cada novo preditor em um modelo tende a elevar o R-quadrado, independentemente da eficácia desse preditor em melhorar o modelo. Desta forma, um modelo poderia aparentar ser mais adequado simplesmente por possuir um maior número de variáveis. O R-quadrado ajustado, por sua vez, ajusta-se em função do número de variáveis incluídas, aumentando apenas quando a adição de um novo termo efetivamente aprimora o modelo além do que seria esperado ao acaso, e decrescendo caso o acréscimo não supere essa expectativa.

Em situações de overfitting, pode-se observar um valor inflacionado de R-quadrado, que não corresponde à capacidade predictiva real do modelo. Tal problema não ocorre com o R-quadrado ajustado.

R-quadrado Vs. Beta

Enquanto o beta representa uma métrica de risco relativo, indicando como o retorno de um ativo tende a reagir em relação a um índice de referência, o R-quadrado mede a proporção em que as variações de preço de um ativo se alinham com as de um benchmark específico. Portanto, o beta quantifica a magnitude dessas variações em relação ao índice, enquanto o R-quadrado avalia a correlação entre essas variações. A combinação dessas duas medidas fornece uma visão abrangente sobre o desempenho e a gestão de ativos. Um beta de 1,0 implica que o ativo possui um risco (volatilidade) igual ao do seu benchmark.

O R-quadrado, assim, serve como um importante instrumento de análise estatística, contribuindo para a validação prática e a confiabilidade dos betas dos títulos.

Limitações do R-quadrado

R-quadrado oferece uma estimativa sobre como as variações de uma variável dependente são explicadas pelas variações em uma variável independente. Contudo, ele não avalia a adequação do modelo selecionado, a qualidade dos dados ou a imparcialidade das previsões.

Ter um R-quadrado alto ou baixo não indica necessariamente que um modelo é eficaz ou ineficaz. Esta métrica não reflete sobre a precisão do modelo escolhido ou a correção da abordagem de regressão adotada. Um modelo pode ter um R-quadrado baixo e ainda ser apropriado, assim como um R-quadrado alto pode estar associado a um modelo que não se ajusta bem aos dados.

Conclusão

O R-quadrado é uma métrica estatística fundamental que mede a proporção da variação de uma variável dependente explicada por uma ou mais variáveis independentes em modelos de regressão. É um indicador crucial para avaliar a eficácia de modelos preditivos, especialmente em campos que dependem de análise quantitativa para tomar decisões informadas, como finanças, ciências sociais, e economia.

O valor de R-quadrado por si só não determina a adequação de um modelo de regressão, mas quando interpretado corretamente e no contexto apropriado, oferece insights valiosos sobre a relação entre variáveis. A distinção entre R-quadrado e R-quadrado ajustado é essencial em análises mais complexas, onde múltiplas variáveis independentes são consideradas, garantindo que a adição de variáveis ao modelo seja justificada pela melhoria na capacidade preditiva do modelo.

A aplicabilidade de um “bom” valor de R-quadrado varia significativamente entre diferentes disciplinas e objetivos de pesquisa. Em finanças, por exemplo, um alto valor de R-quadrado pode ser desejável para fundos de índice que buscam replicar o desempenho de benchmarks, enquanto para fundos geridos ativamente, um R-quadrado mais baixo pode indicar uma gestão de fundos que agrega valor ao superar os índices de referência.

Perguntas Frequentes

Qual é Considerado um Bom Valor de R-quadrado?

A definição de um valor de R-quadrado considerado “bom” varia amplamente conforme o domínio de aplicação. Por exemplo, nas ciências sociais, um R-quadrado de 0,5 pode ser interpretado como substancialmente significativo. Em contraste, em outras áreas, um valor de R-quadrado desejável pode ser muito mais rigoroso, situando-se em torno de 0,9 ou mais. No setor financeiro, um R-quadrado superior a 0,7 é frequentemente percebido como indicativo de uma forte correlação entre o desempenho de um fundo e seu índice de referência. Valores abaixo de 0,4, por outro lado, sugerem uma correlação fraca. No entanto, essa orientação pode variar dependendo do contexto específico da análise.

O que Significa um Valor de R-quadrado de 0,9?

Um R-quadrado de 0,9 implica que 90% da variação da variável dependente analisada pode ser explicada pelas mudanças na variável independente. Por exemplo, se um fundo de investimento apresenta um R-quadrado de 0,9 com relação ao seu índice de referência, isso significa que 90% das flutuações no valor do fundo podem ser atribuídas às variações no índice de referência.

Um R-quadrado Alto é Sempre Preferível?

A preferência por um valor alto de R-quadrado depende do objetivo da análise. Se o propósito for encontrar um fundo de índice que reproduza o mais fielmente possível o desempenho de um determinado índice, então um valor de R-quadrado alto é ideal, pois indica uma correspondência próxima ao índice de referência. No entanto, no caso de fundos geridos ativamente, um valor alto de R-quadrado pode ser interpretado negativamente, sugerindo que os gestores do fundo não estão conseguindo superar significativamente o desempenho dos índices de referência.