الانحراف المعياري مقابل التباين: الصيغة والاستخدامات

ما هو الانحراف المعياري؟

يمثل الانحراف المعياري ل مقياس إحصائي يقيس التباين أو التشتت في قيم مجموعة معينة من البيانات حول المتوسط. يتم إجراء هذا الحساب عن طريق استخراج الجذر التربيعي للتباين، مما يسهل فهم مدى اختلاف كل قيمة فردية عن المتوسط ​​المحدد.

من الناحية العملية، فإن مجموعة البيانات ذات القيم المنتشرة على نطاق واسع حول المتوسط ​​​​ستؤدي إلى انحراف معياري مرتفع. ويشير هذا إلى أنه كلما زاد تشتت البيانات، زادت قيمة الانحراف المعياري.

الفوائد

• يوفر الانحراف المعياري تحليلاً كميًا لتشتت البيانات مقارنة بمتوسط ​​المجموعة.
• يتم تحديده من خلال حساب الجذر التربيعي للتباين.
• في المجال المالي، غالبا ما يستخدم الانحراف المعياري كمؤشر للمخاطر المرتبطة بأصل معين.
• الأصول ذات التقلبات العالية لها انحراف معياري مرتفع، في حين أن الأصول المستقرة، مثل أسهم الشركات الموحدة (الأسهم الكبرى)، تميل إلى أن يكون لها انحراف معياري منخفض.

ومع ذلك، فإن أحد قيود الانحراف المعياري هو تفسيره لجميع أشكال عدم اليقين كمخاطر، بما في ذلك تلك التي قد تؤدي إلى عوائد أعلى من المتوسط.

ما هي وظيفة الانحراف المعياري؟

في السياق المالي، يتم استخدام الانحراف المعياري كمقياس إحصائي يكشف، عند تطبيقه على معدل العائد السنوي على الاستثمار، عن تقلباته التاريخية.

يشير الانحراف المعياري الأعلى في الأصل إلى تباين أكبر بين أسعاره الفردية والمتوسط، مما يشير إلى نطاق سعري أوسع. وبالتالي، فإن الأصول ذات التقلبات الأكبر، مثل بعض الأسهم، لديها انحراف معياري أعلى، في حين أن تلك التي تعتبر أكثر استقرارا، مثل الأسهم الممتازة، لديها انحراف معياري أقل.

صيغة الانحراف المعياري

يتم حساب الانحراف المعياري عن طريق الحصول على الجذر التربيعي للقيمة التي يتم تحديدها من خلال مقارنة كل نقطة بيانات مع المتوسط ​​العام للبيانات من مجتمع معين. الصيغة هي:

 

إجراءات حساب الانحراف المعياري

لحساب الانحراف المعياري، اتبع العملية التالية:

1. أولا يتم تحديد الوسط الحسابي للبيانات عن طريق جمع كافة القيم وقسمة النتيجة على إجمالي عدد نقاط البيانات.
2. ثم يتم حساب الفرق بين كل نقطة بيانات والمتوسط، مما يؤدي إلى الاختلاف الفردي لكل نقطة.
3. الخطوة التالية هي تربيع كل من هذه الاختلافات.
4. بعد ذلك، يتم جمع جميع الاختلافات المربعة التي تم الحصول عليها معًا.
5. يتم بعد ذلك قسمة هذا الإجمالي على إجمالي عدد نقاط البيانات ناقص واحد.
6. وأخيراً يتم استخراج الجذر التربيعي للنتيجة التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة.

استخدامات الانحراف المعياري

يعد الانحراف المعياري ذا أهمية كبيرة في سياق الاستثمارات والتداول، لأنه يوفر مقياسًا دقيقًا لتقلبات السوق والأصول المالية، مما يساهم في توقع اتجاهات العائد. في سياق الاستثمارات، على سبيل المثال، يوضح صندوق المؤشر الذي لديه انحراف معياري منخفض مقارنة بمؤشره المرجعي أنه يحقق غرضه المتمثل في تكرار سلوك المؤشر.

ومن ناحية أخرى، من المتوقع أن تظهر صناديق النمو القوية انحرافا معياريا أعلى مقارنة بمؤشرات السوق ذات الصلة، حيث يتبنى مديروها استراتيجيات أكثر جرأة في محاولة لتحقيق عوائد أعلى من المتوسط.

ومع ذلك، فإن الانحراف المعياري الأصغر ليس بالضرورة أكثر فائدة، حيث أن كل شيء يعتمد على طبيعة الاستثمارات واستعداد المستثمر للمخاطرة. عند النظر في الانحراف المعياري في محافظهم الاستثمارية، من الأهمية بمكان أن يقوم المستثمرون بتقييم مدى تحملهم للتقلبات وأهدافهم الاستثمارية طويلة الأجل. وقد يفضل المستثمرون ذوو الملف الشخصي الأكثر عدوانية خيارات الاستثمار ذات التقلبات الأكبر، في حين أن أولئك الذين لديهم ملف أكثر تحفظا قد يبحثون عن بدائل أقل تقلبا.

يعد الانحراف المعياري أحد المقاييس الأساسية لتقييم المخاطر، ويستخدم على نطاق واسع من قبل المحللين الماليين ومديري المحافظ ومستشاري الاستثمار. تكشف المؤسسات المالية في كثير من الأحيان عن الانحراف المعياري لصناديق الاستثمار المشتركة والمنتجات المالية الأخرى، مما يوفر رؤية واضحة لكيفية اختلاف العائدات عن المتوسط ​​المتوقع. وبما أنه مؤشر سهل التفسير، يتم الإبلاغ عن هذه الإحصائية بانتظام للعملاء والمستثمرين.

الانحراف المعياري مقابل التباين

يتم الحصول على التباين عن طريق حساب متوسط ​​قيم مجموعة البيانات أولاً، وطرح ذلك المتوسط ​​من كل قيمة على حدة، وتربيع تلك الاختلافات، وأخيرًا تربيع متوسط ​​تلك القيم. ويتوافق الانحراف المعياري بدوره مع الجذر التربيعي لهذا الاختلاف. يمكن تنفيذ هذه الإجراءات بكفاءة بمساعدة برامج مثل Excel.

يحدد الاختلاف مدى تشتت البيانات بالنسبة للقيمة المتوسطة. وكلما زاد التباين، زاد التشتت بين قيم البيانات، مما يشير إلى إمكانية وجود مسافات أكبر بين قيمة وأخرى. إذا كانت قيم البيانات أقرب إلى بعضها البعض، فسيكون الاختلاف أصغر. ومع ذلك، يمكن أن يكون تفسير التباين أكثر تعقيدًا، لأنه يمثل قيمة تربيعية، والتي قد لا تكون قابلة للمقارنة بسهولة مع القيم الأصلية في مجموعة البيانات.

من ناحية أخرى، يميل الانحراف المعياري إلى أن يكون أكثر سهولة وقابلية للتطبيق، حيث يتم التعبير عنه بنفس وحدة القياس مثل البيانات الأصلية، وهو ما لا يحدث بالضرورة مع الاختلاف. باستخدام الانحراف المعياري، من الممكن تحديد ما إذا كانت البيانات تتبع التوزيع الطبيعي أو تمثل شكلاً آخر من أشكال العلاقة الرياضية.

في التوزيع الطبيعي، ما يقرب من 68٪ من البيانات تقع ضمن انحراف معياري واحد عن المتوسط. تؤدي الاختلافات الأكبر إلى المزيد من البيانات خارج هذا النطاق، بينما تشير الاختلافات الأصغر إلى أن المزيد من البيانات قريبة من المتوسط.

مزايا وعيوب الانحراف المعياري

المزايا

الانحراف المعياري هو مقياس التشتت المعترف به والمستخدم على نطاق واسع. نظرًا لمعرفته بين المحللين والمهنيين من مختلف المجالات، مثل الاستثمارات والعلوم الاكتوارية، غالبًا ما يتم اختيار هذا المقياس للتحليل.

ويأخذ هذا المقياس في الاعتبار جميع الملاحظات الواردة في مجموعة البيانات، ويقدم تحليلاً كاملاً. على عكس المقاييس الأخرى التي تركز فقط على القيم الأكثر تطرفًا، يأخذ الانحراف المعياري في الاعتبار كل نقطة بيانات، مما يوفر رؤية أكثر شمولاً ودقة للتشتت.

من الممكن الجمع بين الانحراف المعياري لمجموعتين مختلفتين من البيانات باستخدام صيغة محددة للانحراف المعياري المدمج، وهو أمر لا ينطبق على مقاييس التشتت الأخرى. علاوة على ذلك، يمكن دمج الانحراف المعياري في حسابات جبرية إضافية، مما يميزه عن الأشكال الأخرى للتحليل الإحصائي.

سلبيات

عند استخدام الانحراف المعياري، يجب أن تضع بعض الاعتبارات في الاعتبار. لا يشير هذا المقياس بشكل صريح إلى مدى بعد القيمة عن المتوسط، بل يقارن الفروق المربعة، وهو فارق بسيط مهم في فهم تشتت البيانات بالنسبة إلى المتوسط.

تؤثر القيم البعيدة جدًا عن المتوسط، أو القيم المتطرفة، بشكل كبير على الانحراف المعياري، ويرجع ذلك أساسًا إلى تربيع الاختلافات، مما يزيد من تأثير هذه النقاط المتطرفة في التحليل.

وأخيرًا، قد يكون حساب الانحراف المعياري يدويًا أمرًا صعبًا، حيث يتطلب عدة خطوات معقدة تزيد من خطر الأخطاء. ومع ذلك، يمكن تقليل هذه الصعوبة باستخدام أدوات حسابية متقدمة، مثل محطة بلومبرج.

أمثلة الانحراف المعياري

لنفترض مجموعة من البيانات مكونة من القيم 5 و7 و3 و7، ومجموعها 22. ولإيجاد المتوسط، يتم قسمة هذا المجموع على عدد الملاحظات، وهو في هذه الحالة أربعة، فينتج عنه متوسط من 5,5. ولذلك، لدينا متوسط ​​(\(x̄\)) يساوي 5,5 وإجمالي عدد البيانات (\(N\)) يساوي 4.

لحساب التباين، يتم طرح متوسط ​​كل قيمة في مجموعة البيانات، والحصول على الاختلافات -0,5، 1,5، -2,5 و1,5. يتم بعد ذلك تربيع هذه الاختلافات، مما يؤدي إلى 0,25 و2,25 و6,25 و2,25 على التوالي. مجموع هذه القيم المربعة هو 11، والذي، مقسومًا على \(N-1\) (في هذه الحالة، 3)، ينتج عنه تباين قدره 3,67 تقريبًا.

الجذر التربيعي لهذا التباين يعطينا الانحراف المعياري، وهو 1,915 تقريبًا.

بأخذ أسهم شركة Apple (AAPL) كمثال على مدى خمس سنوات، مع عوائد سنوية قدرها 88,97% في عام 2019، و82,31% في عام 2020، و34,65% في عام 2021، و-26,41% في عام 2022، و28,32% في عام 2023، فإن متوسط ​​العائد على هذه الأسهم خمس سنوات 41,57%.

بطرح متوسط ​​العائد لكل سنة، نحصل على 47,40%، 40,74%، -6,92%، -67,98%، -13,25%، على التوالي. بعد تربيع هذه القيم، نحصل على 22,47%، و16,60%، و0,48%، و46,21%، و2,42%. مجموع هذه القيم المربعة هو 0,882. بقسمة هذه القيمة على 4 (\(N-1\)) نحصل على تباين قدره 0,220.

الجذر التربيعي لهذا التباين هو الانحراف المعياري، وينتج عنه 0,469 أو 46,90%.

اختتام

يظهر الانحراف المعياري كأداة إحصائية أساسية لقياس تشتت مجموعة من البيانات بالنسبة لمتوسطها. من خلال الأمثلة العملية، مثل أداء أسهم أبل أو مجموعة بسيطة من الأرقام، تم توضيح كيفية حساب كل من التباين والانحراف المعياري، وتوضيح أهمية كل مقياس في تفسير التقلب وتشتت البيانات.

يعد فهم الانحراف المعياري أمرًا بالغ الأهمية للعديد من المجالات، بما في ذلك التمويل والبحث العلمي والهندسة، حيث أنه يقدم نظرة ثاقبة حول اتساق أو تباين البيانات التي تم تحليلها. يشير الانحراف المعياري المرتفع إلى تشتت أكبر للقيم حول المتوسط، مما يشير إلى التقلب أو عدم الاتساق، بينما تشير القيمة المنخفضة إلى أن البيانات أكثر تجمعًا حول المتوسط، مما يشير إلى الاستقرار.

أسئلة وأجوبة

ماذا يشير الانحراف المعياري العالي؟

يشير الانحراف المعياري العالي إلى أن القيم الموجودة في مجموعة البيانات تختلف بشكل كبير عن المتوسط، مما يدل على تشتت كبير للبيانات. ومن ناحية أخرى، يشير الانحراف المعياري المنخفض إلى أن البيانات أكثر تركيزا حول المتوسط.

ما هي المعلومات التي يتم الحصول عليها من خلال الانحراف المعياري؟

يوفر الانحراف المعياري مقياسًا للتشتت لمجموعة من البيانات، مما يشير إلى ما إذا كانت القيم قريبة من المتوسط ​​أم بعيدة عنه. في التوزيعات العادية، يسمح لك بفهم مدى انتشار البيانات بالنسبة للمتوسط.

كيفية تحديد الانحراف المعياري بسرعة؟

يمكن أن يشير التحليل المرئي لتوزيع البيانات إلى ما إذا كان التشتت واسعًا أم ضيقًا. التوزيعات ذات التشتت الأكبر لها انحرافات معيارية أعلى. لإجراء حسابات محددة، تحتوي برامج مثل Excel على وظائف مخصصة لحساب الانحراف المعياري، مما يسهل الحصول على هذا القياس.

كيف يتم حساب الانحراف المعياري؟

يتم حساب الانحراف المعياري من الجذر التربيعي للتباين. تتضمن هذه العملية تحديد متوسط ​​مجموعة البيانات، وحساب الاختلافات بين كل نقطة بيانات والمتوسط، وتربيع هذه الاختلافات، وجمع النتائج، والقسمة على عدد الملاحظات ناقص واحد، وأخيرًا استخراج الجذر التربيعي للنتيجة.