O Que São Graus De Liberdade? Fórmula e Exemplos

O que são graus de liberdade?

Os graus de liberdade representam a quantidade máxima de valores que, de forma lógica e independente, têm a capacidade de variar dentro de um conjunto específico de dados. Para calcular os graus de liberdade, subtrai-se um do total de elementos presentes no conjunto de dados.

Como funcionam os graus de liberdade?

Esta medida reflete o número de variáveis independentes que é possível estimar numa análise estatística, indicando quantos elementos podem ser escolhidos de maneira aleatória antes da aplicação de quaisquer limitações.

Em uma coleta de dados específica, é possível selecionar inicialmente uma série de números de forma aleatória. Contudo, se o conjunto exige que a soma ou a média dos números atenda a um valor determinado, as escolhas posteriores são limitadas para garantir que os requisitos do conjunto sejam cumpridos.

Exemplos de graus de liberdade

• Exemplo 1: Seja uma seleção de dados que inclui cinco números inteiros positivos, com a exigência de que a média destes seja seis. Caso os primeiros quatro números escolhidos sejam {3, 8, 5, 4}, o quinto número necessariamente será 10 para cumprir a média estipulada. Dado que os quatro primeiros números podem ser escolhidos sem restrições, o grau de liberdade é quatro.
• Exemplo 2: Considere um conjunto de dados formado por cinco números inteiros positivos, sem nenhuma relação pré-estabelecida entre eles. Todos os cinco números podem ser selecionados de forma livre, portanto, o grau de liberdade é quatro.
• Exemplo 3: Imagine um conjunto de dados contendo um único número inteiro, com a condição de que este seja ímpar. Dada a restrição imposta a esse único elemento, o grau de liberdade é zero.

Fórmula dos Graus de Liberdade

A fórmula para calcular os graus de liberdade é:

Por exemplo, num cenário onde se deseja escolher dez jogadores de beisebol de forma que a média de suas rebatidas seja 0,250, o tamanho total do conjunto de dados, ou seja, o número de jogadores, é representado por N = 10. Neste caso, é possível escolher aleatoriamente 9 (N – 1) jogadores, enquanto o décimo deve possuir uma média de rebatidas específica que satisfaça a média de 0,250 estabelecida.

Aplicação dos Graus de Liberdade

No contexto estatístico, os graus de liberdade são essenciais para definir o contorno da distribuição t, que é utilizada nos testes t para o cálculo do valor p. A distribuição t se altera com base no tamanho da amostra, apresentando diferentes formas conforme os graus de liberdade variam. Compreender os graus de liberdade é crucial para analisar a significância de resultados obtidos em testes qui-quadrado e para avaliar a aceitação ou rejeição da hipótese nula.

Além da estatística, os graus de liberdade encontram aplicações em cenários práticos diversos. Por exemplo, uma organização que está planejando a compra de insumos para sua produção enfrenta duas variáveis principais: a quantidade de matéria-prima a ser adquirida e o custo total desses materiais.

A decisão sobre um desses fatores influenciará diretamente o outro. Assim, a empresa possui apenas um grau de liberdade nesta escolha, pois ao determinar a quantidade de insumo, o custo total é consequentemente definido e vice-versa. Essa restrição limita a empresa a exercer livre escolha apenas em uma das variáveis, demonstrando a aplicabilidade dos graus de liberdade em decisões empresariais.

Testes Qui-Quadrado

Os testes qui-quadrado se dividem em duas categorias principais: o teste de independência, que busca verificar a existência de uma relação entre duas variáveis, como por exemplo, a relação entre gênero e notas no SAT; e o teste de ajuste, que questiona se um determinado evento ocorre conforme uma expectativa predefinida, como a distribuição de caras e coroas em 100 lançamentos de uma moeda.

Nesses testes, os graus de liberdade desempenham um papel fundamental na determinação da possibilidade de rejeitar a hipótese nula, levando em consideração o número total de variáveis e o tamanho da amostra do estudo. Estudos com amostras pequenas, como 30 ou 40 participantes, tendem a oferecer dados menos robustos em comparação com estudos que contam com 400 a 500 participantes.

Teste T

A realização de um teste t envolve o cálculo do valor t da amostra para então compará-lo a um valor crítico. Esse valor crítico, que indica a fronteira para a rejeição da hipótese nula, varia de acordo com a distribuição t, que por sua vez é definida pelos graus de liberdade da amostra analisada.

Amostras com poucos graus de liberdade tendem a apresentar uma probabilidade maior de valores atípicos, enquanto que amostras com um número maior de observações, preferencialmente acima de 30, aproximam-se mais de uma distribuição normal. Assim, amostras menores resultam em distribuições t com caudas mais pesadas.

Os cenários mencionados podem ser empregados em um teste t para uma única amostra. Por exemplo, a situação descrita no “Exemplo 1”, na qual cinco valores precisam alcançar uma média específica, é apta para ser analisada como um teste t para uma única amostra, devido à única restrição imposta sobre a variável.

História dos Graus de Liberdade

A ideia inicial e fundamental sobre graus de liberdade surgiu no começo do século XIX, sendo integrada nas contribuições do matemático e astrônomo Carl Friedrich Gauss. A perspectiva contemporânea e o uso do termo foram introduzidos ao mundo por William Sealy Gosset, um estatístico britânico, através de seu trabalho “The Probable Error of a Mean”, divulgado na revista Biometrika em 1908, utilizando um pseudônimo para manter sua identidade em segredo.

Gosset, em sua obra, não mencionou explicitamente “graus de liberdade”. No entanto, delineou a essência desse conceito durante o desenvolvimento daquilo que seria posteriormente conhecido como “Distribuição T de Student”. A terminologia só ganhou popularidade em 1922, quando o biólogo e estatístico britânico Ronald Fisher começou a empregar o termo “graus de liberdade” em suas publicações e análises relacionadas ao desenvolvimento de testes qui-quadrado.

Conclusão

A compreensão dos graus de liberdade é fundamental para a análise estatística, fornecendo insights sobre o número de variáveis independentes que podem variar dentro de um conjunto de dados, sem comprometer as restrições impostas. Desde suas raízes históricas nas obras de Gauss até a formalização e popularização por Gosset e Fisher, o conceito de graus de liberdade evoluiu para se tornar uma pedra angular em diversas aplicações estatísticas, incluindo testes t e qui-quadrado.

Os graus de liberdade não apenas informam sobre a flexibilidade na seleção de valores dentro de um conjunto de dados, mas também desempenham um papel crítico na determinação da precisão e validade de inferências estatísticas. Eles auxiliam na interpretação de resultados de testes, na avaliação da significância estatística e na estimativa de parâmetros populacionais a partir de amostras.

Além disso, a aplicação dos graus de liberdade transcende a teoria estatística, encontrando relevância em contextos práticos, como na tomada de decisões empresariais e no planejamento de pesquisas. Eles ajudam a moldar o entendimento de que, em qualquer conjunto de dados com restrições, a liberdade para escolher valores aleatoriamente é limitada pela necessidade de cumprir com um resultado ou condição pré-definidos.

Perguntas Frequentes

Como determinar os graus de liberdade?

Para calcular a média de um conjunto de dados, os graus de liberdade são definidos pelo total de elementos no conjunto subtraído por um. Isso reflete a liberdade de escolha para todos os elementos até o penúltimo, pois o último deve ajustar-se de modo a respeitar a média estabelecida para o conjunto.

O que os graus de liberdade indicam?

Os graus de liberdade apontam o número de elementos em um conjunto que podem ser escolhidos livremente, mantendo a aderência a uma regra específica que governa o conjunto. Por exemplo, em um conjunto de cinco elementos que devem somar um valor médio específico, os graus de liberdade revelam quantos destes elementos (neste caso, quatro) podem ser determinados de forma aleatória antes de serem impostas restrições. Com quatro elementos escolhidos, a liberdade para selecionar o quinto de forma aleatória é perdida, visto que este último precisa ajustar-se para alcançar a média pré-definida.

Os graus de liberdade são sempre iguais a 1?

Na realidade, os graus de liberdade correspondem à quantidade de elementos em um conjunto subtraída por um. Esse ajuste é necessário porque, ao impor condições ao conjunto de dados, o elemento final precisa ser específico para permitir que todos os outros elementos cumpram com o critério estabelecido.