मानक विचलन बनाम विचरण: सूत्र और उपयोग

मानक विचलन क्या है?

मानक विचलन दर्शाता है एक सांख्यिकीय माप जो माध्य के आसपास डेटा के दिए गए सेट के मूल्यों की भिन्नता या फैलाव को मापता है। यह गणना विचरण का वर्गमूल निकालकर की जाती है, जिससे यह समझना आसान हो जाता है कि प्रत्येक व्यक्तिगत मान निर्धारित औसत से किस हद तक भिन्न है।

व्यवहार में, माध्य के चारों ओर व्यापक रूप से फैले मूल्यों वाले डेटा सेट के परिणामस्वरूप उच्च मानक विचलन होगा। यह इंगित करता है कि डेटा का फैलाव जितना अधिक होगा, मानक विचलन मान उतना ही अधिक होगा।

लाभ

• मानक विचलन समुच्चय माध्य की तुलना में डेटा के फैलाव का मात्रात्मक विश्लेषण प्रदान करता है।
• यह विचरण के वर्गमूल की गणना के माध्यम से निर्धारित किया जाता है।
• वित्तीय क्षेत्र में, मानक विचलन का उपयोग अक्सर किसी दिए गए परिसंपत्ति से जुड़े जोखिम के संकेतक के रूप में किया जाता है।
• उच्च अस्थिरता वाली परिसंपत्तियों में उच्च मानक विचलन होता है, जबकि स्थिर परिसंपत्तियों, जैसे समेकित कंपनियों (ब्लू चिप्स) के शेयरों में कम मानक विचलन होता है।

हालाँकि, मानक विचलन की एक सीमा जोखिम के रूप में अनिश्चितता के सभी रूपों की व्याख्या है, जिसमें वे भी शामिल हैं जिनके परिणामस्वरूप औसत से ऊपर रिटर्न हो सकता है।

मानक विचलन का कार्य क्या है?

वित्तीय संदर्भ में, मानक विचलन का उपयोग एक सांख्यिकीय मीट्रिक के रूप में किया जाता है, जिसे जब किसी निवेश पर रिटर्न की वार्षिक दर पर लागू किया जाता है, तो इसकी ऐतिहासिक अस्थिरता का पता चलता है।

किसी परिसंपत्ति में उच्च मानक विचलन इसकी व्यक्तिगत कीमतों और औसत के बीच अधिक परिवर्तनशीलता को इंगित करता है, जो एक व्यापक मूल्य सीमा का सुझाव देता है। इस प्रकार, अधिक अस्थिरता वाली परिसंपत्तियाँ, जैसे कि कुछ स्टॉक, में उच्च मानक विचलन होता है, जबकि जो अधिक स्थिर मानी जाती हैं, जैसे कि ब्लू चिप स्टॉक, उनमें कम मानक विचलन होता है।

मानक विचलन सूत्र

मानक विचलन की गणना किसी मान का वर्गमूल प्राप्त करके की जाती है जो किसी दिए गए जनसंख्या के डेटा के सामान्य औसत के साथ प्रत्येक डेटा बिंदु की तुलना करके निर्धारित किया जाता है। सूत्र है:

 

मानक विचलन की गणना की प्रक्रिया

मानक विचलन की गणना करने के लिए, नीचे दी गई प्रक्रिया का पालन करें:

1. सबसे पहले, डेटा का अंकगणितीय माध्य सभी मानों को जोड़कर और परिणाम को डेटा बिंदुओं की कुल संख्या से विभाजित करके निर्धारित किया जाता है।
2. फिर, प्रत्येक डेटा बिंदु और औसत के बीच अंतर की गणना की जाती है, जिसके परिणामस्वरूप प्रत्येक बिंदु की व्यक्तिगत भिन्नता होती है।
3. अगला कदम इनमें से प्रत्येक विविधता का वर्ग करना है।
4. उसके बाद, प्राप्त सभी वर्ग विविधताओं को एक साथ जोड़ दिया जाता है।
5. फिर इस कुल को डेटा बिंदुओं की कुल संख्या घटाकर एक से विभाजित किया जाता है।
6. अंत में, पिछले चरण में प्राप्त परिणाम का वर्गमूल निकाला जाता है।

मानक विचलन का उपयोग

मानक विचलन निवेश और व्यापार के संदर्भ में बेहद प्रासंगिक है, क्योंकि यह बाजार और वित्तीय परिसंपत्ति की अस्थिरता का सटीक माप प्रदान करता है, जो उपज रुझानों की प्रत्याशा में योगदान देता है। निवेश के संदर्भ में, उदाहरण के लिए, एक इंडेक्स फंड जिसका मानक विचलन उसके संदर्भ सूचकांक की तुलना में कम है, यह दर्शाता है कि यह सूचकांक के व्यवहार को दोहराने के अपने उद्देश्य को पूरा कर रहा है।

दूसरी ओर, आक्रामक विकास फंडों से प्रासंगिक बाजार सूचकांकों की तुलना में उच्च मानक विचलन दिखाने की उम्मीद की जाती है, क्योंकि उनके प्रबंधक औसत से अधिक रिटर्न प्राप्त करने के प्रयास में साहसी रणनीति अपनाते हैं।

हालाँकि, एक छोटा मानक विचलन आवश्यक रूप से अधिक लाभप्रद नहीं है, क्योंकि सब कुछ निवेश की प्रकृति और निवेशक की जोखिम लेने की प्रवृत्ति पर निर्भर करता है। अपने पोर्टफोलियो में मानक विचलन पर विचार करते समय, यह महत्वपूर्ण है कि निवेशक अपनी अस्थिरता सहनशीलता और दीर्घकालिक निवेश उद्देश्यों का मूल्यांकन करें। अधिक आक्रामक प्रोफ़ाइल वाले निवेशक अधिक अस्थिरता वाले निवेश विकल्पों को प्राथमिकता दे सकते हैं, जबकि अधिक रूढ़िवादी प्रोफ़ाइल वाले लोग कम अस्थिर विकल्पों की तलाश कर सकते हैं।

मानक विचलन जोखिम मूल्यांकन के लिए बुनियादी मैट्रिक्स में से एक है, जिसका व्यापक रूप से वित्तीय विश्लेषकों, पोर्टफोलियो प्रबंधकों और निवेश सलाहकारों द्वारा उपयोग किया जाता है। वित्तीय संस्थान अक्सर म्यूचुअल फंड और अन्य वित्तीय उत्पादों के मानक विचलन का खुलासा करते हैं, जिससे यह स्पष्ट दृश्य मिलता है कि रिटर्न अपेक्षित औसत से कैसे भिन्न होता है। चूँकि यह व्याख्या करने में आसान संकेतक है, इसलिए यह आँकड़ा ग्राहकों और निवेशकों को नियमित रूप से सूचित किया जाता है।

मानक विचलन बनाम भिन्नता

किसी डेटा सेट के मानों को पहले औसत करके, प्रत्येक मान से उस औसत को अलग-अलग घटाकर, उन अंतरों का वर्ग करके और अंत में उन मानों के औसत का वर्ग करके भिन्नता प्राप्त की जाती है। मानक विचलन, बदले में, इस भिन्नता के वर्गमूल से मेल खाता है। इन प्रक्रियाओं को एक्सेल जैसे सॉफ्टवेयर की मदद से कुशलतापूर्वक पूरा किया जा सकता है।

भिन्नता औसत मूल्य के संबंध में डेटा के फैलाव के आयाम को निर्धारित करती है। भिन्नता जितनी अधिक होगी, डेटा मानों के बीच फैलाव उतना ही अधिक होगा, जो एक मान और दूसरे मान के बीच अधिक दूरी की संभावना को दर्शाता है। यदि डेटा मान एक-दूसरे के करीब हैं, तो भिन्नता छोटी होगी। हालाँकि, भिन्नता की व्याख्या अधिक जटिल हो सकती है, क्योंकि यह एक द्विघात मान का प्रतिनिधित्व करती है, जिसे डेटा सेट में मूल मानों के साथ आसानी से तुलनीय नहीं किया जा सकता है।

दूसरी ओर, मानक विचलन अधिक सहज और लागू होता है, जिसे मूल डेटा के समान माप की इकाई में व्यक्त किया जाता है, जो आवश्यक रूप से भिन्नता के साथ नहीं होता है। मानक विचलन के साथ, यह पहचानना संभव है कि डेटा सामान्य वितरण का पालन करता है या गणितीय संबंध का कोई अन्य रूप प्रस्तुत करता है।

सामान्य वितरण में, लगभग 68% डेटा माध्य के एक मानक विचलन के भीतर होता है। बड़े बदलाव से इस सीमा के बाहर अधिक डेटा मिलता है, जबकि छोटे बदलाव से संकेत मिलता है कि अधिक डेटा औसत के करीब है।

मानक विचलन के फायदे और नुकसान

लाभ

मानक विचलन फैलाव का एक व्यापक रूप से मान्यता प्राप्त और प्रयुक्त माप है। निवेश और बीमांकिक विज्ञान जैसे विभिन्न क्षेत्रों के विश्लेषकों और पेशेवरों के बीच इसकी परिचितता के कारण, इस मीट्रिक को अक्सर विश्लेषण के लिए चुना जाता है।

यह माप डेटासेट में सभी टिप्पणियों को ध्यान में रखता है, एक संपूर्ण विश्लेषण प्रस्तुत करता है। अन्य उपायों के विपरीत, जो केवल सबसे चरम मूल्यों पर ध्यान केंद्रित करते हैं, मानक विचलन प्रत्येक डेटा बिंदु पर विचार करता है, जो फैलाव का अधिक व्यापक और सटीक दृष्टिकोण प्रदान करता है।

संयुक्त मानक विचलन के लिए एक विशिष्ट सूत्र का उपयोग करके दो अलग-अलग डेटा सेटों के मानक विचलन को संयोजित करना संभव है, कुछ ऐसा जो फैलाव के अन्य उपायों पर लागू नहीं होता है। इसके अलावा, मानक विचलन को अतिरिक्त बीजगणितीय गणनाओं में एकीकृत किया जा सकता है, जो इसे सांख्यिकीय विश्लेषण के अन्य रूपों से अलग करता है।

नुकसान

मानक विचलन का उपयोग करते समय, आपको कुछ बातों को ध्यान में रखना चाहिए। यह माप स्पष्ट रूप से इंगित नहीं करता है कि कोई मान माध्य से कितना दूर है, बल्कि वर्ग अंतरों की तुलना करता है, जो माध्य के सापेक्ष डेटा के फैलाव को समझने में एक महत्वपूर्ण बारीकियां है।

माध्य या आउटलेर्स से बहुत दूर के मान मानक विचलन को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करते हैं, मुख्यतः क्योंकि अंतरों को वर्गित किया जाता है, जिससे विश्लेषण में इन चरम बिंदुओं का प्रभाव बढ़ जाता है।

अंत में, मानक विचलन की मैन्युअल रूप से गणना करना चुनौतीपूर्ण हो सकता है, जिसके लिए कई जटिल चरणों की आवश्यकता होती है जो त्रुटियों के जोखिम को बढ़ाते हैं। हालाँकि, ब्लूमबर्ग टर्मिनल जैसे उन्नत कम्प्यूटेशनल टूल के उपयोग से इस कठिनाई को कम किया जा सकता है।

मानक विचलन उदाहरण

मान 5, 7, 3 और 7 से बने डेटा के एक सेट पर विचार करें, जिसका योग 22 है। औसत ज्ञात करने के लिए, इस कुल को अवलोकनों की संख्या से विभाजित किया जाता है, जो इस मामले में चार है, जिसके परिणामस्वरूप औसत प्राप्त होता है 5,5 का. इसलिए, हमारे पास 5,5 का माध्य (\(x̄\)) और डेटा की कुल संख्या (\(N\)) 4 के बराबर है।

विचरण की गणना करने के लिए, डेटा सेट में प्रत्येक मान का माध्य घटाया जाता है, जिससे अंतर -0,5, 1,5, -2,5 और 1,5 प्राप्त होता है। फिर इन अंतरों का वर्ग किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप क्रमशः 0,25, 2,25, 6,25 और 2,25 प्राप्त होते हैं। इन वर्ग मानों का योग 11 है, जिसे \(N-1\) (इस मामले में, 3) से विभाजित करने पर लगभग 3,67 का अंतर प्राप्त होता है।

इस विचरण का वर्गमूल हमें मानक विचलन देता है, जो लगभग 1,915 है।

पांच वर्षों में ऐप्पल (एएपीएल) के शेयरों को एक उदाहरण के रूप में लेते हुए, 88,97 में 2019%, 82,31 में 2020%, 34,65 में 2021%, 26,41 में -2022% और 28,32 में 2023 .41,57% के वार्षिक रिटर्न के साथ, इन पर औसत रिटर्न पाँच वर्ष XNUMX% है।

प्रत्येक वर्ष के लिए औसत रिटर्न घटाने पर, हमें क्रमशः 47,40%, 40,74%, -6,92%, -67,98% और -13,25% प्राप्त होता है। इन मानों का वर्ग करने के बाद, हमारे पास 22,47%, 16,60%, 0,48%, 46,21% और 2,42% है। इन वर्ग मानों का योग 0,882 है। इस मान को 4 (\(N-1\)) से विभाजित करने पर हमें 0,220 का प्रसरण प्राप्त होता है।

इस विचरण का वर्गमूल मानक विचलन है, जिसके परिणामस्वरूप 0,469 या 46,90% होता है।

निष्कर्ष

मानक विचलन अपने माध्य के संबंध में डेटा के एक सेट के फैलाव को मापने के लिए एक मौलिक सांख्यिकीय उपकरण के रूप में उभरता है। व्यावहारिक उदाहरणों के माध्यम से, जैसे कि ऐप्पल शेयरों का प्रदर्शन या संख्याओं का एक सरल सेट, यह प्रदर्शित किया गया कि अस्थिरता और डेटा फैलाव की व्याख्या में प्रत्येक उपाय की प्रासंगिकता को स्पष्ट करते हुए, भिन्नता और मानक विचलन दोनों की गणना कैसे की जाए।

मानक विचलन को समझना वित्त, वैज्ञानिक अनुसंधान और इंजीनियरिंग सहित कई क्षेत्रों के लिए महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह विश्लेषण किए गए डेटा की स्थिरता या परिवर्तनशीलता में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है। एक उच्च मानक विचलन माध्य के आसपास मूल्यों के अधिक फैलाव को इंगित करता है, जो अस्थिरता या असंगतता का सुझाव देता है, जबकि कम मान बताता है कि डेटा माध्य के आसपास अधिक क्लस्टर है, जो स्थिरता का संकेत देता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

उच्च मानक विचलन क्या दर्शाता है?

एक उच्च मानक विचलन संकेत देता है कि डेटा सेट में मान माध्य से काफी भिन्न होते हैं, जो डेटा के काफी फैलाव को दर्शाता है। दूसरी ओर, कम मानक विचलन इंगित करता है कि डेटा माध्य के आसपास अधिक केंद्रित है।

मानक विचलन से क्या जानकारी प्राप्त होती है?

मानक विचलन डेटा के एक सेट के लिए फैलाव का माप प्रदान करता है, जो दर्शाता है कि मान माध्य के करीब हैं या दूर हैं। सामान्य वितरण में, यह आपको यह समझने की अनुमति देता है कि माध्य के संबंध में डेटा कितना फैला हुआ है।

मानक विचलन का शीघ्रता से निर्धारण कैसे करें?

डेटा वितरण का एक दृश्य विश्लेषण यह संकेत दे सकता है कि फैलाव व्यापक है या संकीर्ण। अधिक फैलाव वाले वितरणों में उच्च मानक विचलन होते हैं। विशिष्ट गणनाओं के लिए, एक्सेल जैसे सॉफ़्टवेयर में मानक विचलन की गणना करने के लिए समर्पित कार्य होते हैं, जिससे इस माप को प्राप्त करना आसान हो जाता है।

मानक विचलन की गणना कैसे की जाती है?

मानक विचलन की गणना प्रसरण के वर्गमूल से की जाती है। इस प्रक्रिया में डेटा सेट का माध्य निर्धारित करना, प्रत्येक डेटा बिंदु और माध्य के बीच अंतर की गणना करना, इन अंतरों का वर्ग करना, परिणामों का योग करना, प्रेक्षणों की संख्या को घटाकर एक से विभाजित करना और अंत में परिणाम का वर्गमूल निकालना शामिल है।